2.2.3向量数乘运算及其几何意义A级：基础巩固练一、选择题1．下列各式计算正确的个数是()①(－7)·5a＝－35a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.A．0B．1C．2D．3答案C解析根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．2．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD＝()A.BC－BAB．－BC＋BAC．－BC－BAD.BC＋BA答案B解析解法一：∵D是AB的中点，∴BD＝BA，∴CD＝CB＋BD＝－BC＋BA.解法二：由CD＝(CB＋CA)＝[CB＋(CB＋BA)]＝CB＋BA＝－BC＋BA.3．已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D答案A解析AD＝AC＋CD＝AB＋BC＋CD＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3AB，∴A，B，D三点共线．故选A.4．若AB＝3e1，CD＝－5e1，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰的梯形答案C解析因为AB＝－CD，所以AB∥CD，且|AB|≠|CD|.而|AD|＝|BC|，所以四边形ABCD为等腰梯形．5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF等于()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b答案B解析如图所示，∵E是OD的中点，∴OE＝BD＝b.又∵△ABE∽△FDE，∴＝＝.∴AE＝3EF，∴AE＝AF，在△AOE中，AE＝AO＋OE＝a＋b，∴AF＝AE＝a＋b.故选B.二、填空题6．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k＝________.答案－4解析∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.∴解得或∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，∴λ＝－，k＝－4.7．若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，则向量a写为λ1b＋λ2c的形式是________．答案－b＋c解析若a＝λ1b＋λ2c，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，∴－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2.∴解之，得8．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________．答案2解析解法一：因为AB＝mAM，AC＝nAN，所以AM＝AB，AN＝AC，则MN＝AN－AM＝AC－AB.因为点O为BC的中点，连接AO，所以AO＝AB＋AC，则MO＝AO－AM＝AB＋AC－AB＝AB＋AC，因为M，O，N三点共线，所以可设MO＝λMN，即AB＋AC＝AC－AB，则AB＋AC＝0，由于AB，AC不共线，所以消去λ得－＋＝0，变形整理可得m＋n＝2.解法二：在△ABC中，连接AO.由于O是BC的中点，因此AO＝(AB＋AC)＝AB＋AC.由于AB＝mAM，AC＝nAN，则AO＝mAM＋nAN.由于M，O，N三点共线，则m＋n＝1，从而m＋n＝2.三、解答题9．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.(1)用a，b分别表示向量AE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．解(1)∵AD＝(AB＋AC)＝(a＋b)，∴AE＝AD＝(a＋b)．∵AF＝AC＝b，∴BF＝AF－AB＝－a＋b.(2)证明：由(1)知BF＝－a＋b，BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝－a＋b＝，∴BE＝BF，∴BE与BF共线．又BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线．10．设e1，e2是两个不共线的向量，如果AB＝3e1－2e2，BC＝4e1＋e2，CD＝8e1－9e2.(1)求证A，B，D三点共线；(2)试确定λ的值，使2λe1＋e2和e1＋λe2共线；(3)若e1＋λe2与λe1＋e2不共线，试求λ的取值范围．解(1)证明：因为BD＝BC＋CD＝4e1＋e2＋8e1－9e2＝12e1－8e2＝4(3e1－2e2)＝4AB，所以AB与BD共线．因为AB与BD有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为2λe1＋e2与e1＋λe2共线，所以存在实数μ，使2λe1＋e2＝μ(e1＋λe2)．因为e1，e2不共线，所以所以λ＝±.(3)假设e1＋λe2与λe1＋e2共线，则存在实数μ，使e1＋λe2＝μ(λe1＋e2)．因为e1，e2不共线，所以所以λ＝±1.所以当λ≠±1时，e1＋λe2与λe1＋e2不共线．B级：能力提升练1．如图所示，向量OA，OB，OC的终点A，B，C在一条直线上，且AC＝－3CB.设OA＝p，OB＝q，OC＝r，则以下等式中成立的是()A．r＝－p＋qB．r＝－p＋2qC．r＝p－qD．r＝－q＋2p答案A解析∵OC＝OB＋BC，AC＝－3CB＝3BC，∴BC＝AC.∴OC＝OB＋AC＝OB＋(OC－OA)．∴r＝q＋(r－p)．∴r＝－p＋q.2．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案解析由已知DE＝BE－BD＝BC－BA＝(AC－AB)＋AB＝－AB＋AC，∴λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝.
