2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课时跟踪检测[A组基础过关]1．已知a＝(－2,3)，b＝(1,5)，则3a＋b等于()A．(－5,14)B.(5,14)C．(7,4)D.(5,9)解析：3a＋b＝3(－2,3)＋(1,5)＝(－5,14)，故选A.答案：A2．设向量AB＝(2,3)，且点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标为()A．(1,1)B.(－1，－1)C．(3,5)D.(4,4)解析：OB＝OA＋AB＝(1,2)＋(2,3)＝(3,5)，故选C.答案：C3．已知AB＝(5，－3)，C(－1,3)，CD＝2AB，则点D的坐标为()A．(11,9)B.(4,0)C．(9,3)D.(9，－3)解析：设D(x，y)，由CD＝2AB得(x＋1，y－3)＝2(5，－3)，∴∴故D(9，－3)．答案：D4．设A，B，C，D四点的坐标依次为(－1,0)，(0,2)，(4,3)，(3,1)，则四边形ABCD为()A．正方形B.矩形C．菱形D.平行四边形解析：∵AB＝(0,2)－(－1,0)＝(1,2)，DC＝(4,3)－(3,1)＝(1,2)，∴AB＝DC.∴AB∥DC且|AB|＝|DC|.∴四边形ABCD为平行四边形．故选D.答案：D5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD等于()A．(－2，－4)B.(－3，－5)C．(3,5)D.(2,4)解析：BD＝AD－AB＝AC－AB－AB＝AC－2AB＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．故选B.答案：B6．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1－λ2＝________.解析：由c＝λ1a＋λ2b，得(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)，∴解得∴λ1－λ2＝－3.答案：－37．平面上三个点，分别为A(2，－5)，B(3,4)，C(－1，－3)，D为线段BC的中点，则向量DA的坐标为________．解析：因为D为线段BC的中点，由线段的中点坐标公式x＝，y＝可以求得D，再由向量的坐标公式得DA＝(2，－5)－＝.答案：8．已知A(－1,2)，B(2,8)．若AC＝AB，DA＝－AB，求CD的坐标．解：设C(x，y)，由AC＝AB，得(x＋1，y－2)＝(3,6)，∴∴∴C(0,4)．设D(m，n)，由DA＝－AB，得(－1－m,2－n)＝－(3,6)，∴∴∴D(1,6)，∴CD＝(1,2)．[B组技能提升]1．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC等于()A．(－6,21)B.(－2,7)C．(6，－21)D.(2，－7)解析：PQ－PA＝AQ＝(－3,2)，Q是AC的中点，∴AQ＝QC，∴PC＝PQ＋QC＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)．∵BP＝2PC，∴BC＝BP＋PC＝3PC＝(－6,21)．答案：A2．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为()A.B.C．()D.(1,3)解析：设D(x，y)，AD＝(x，y－2)，BC＝(4,3)，又BC＝2AD，∴∴故选A.答案：A3．在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(，1)，将向量OP绕点O逆时针旋转90°后得到向量OQ，则点Q的坐标是________．解析：∵点O(0,0)，P(，1)，∴OP＝(，1)，∴|OP|＝2，且OP的方向与x轴正方向的夹角为30°，∵OP绕点O逆时针旋转90°后得到向量OQ，∴OQ的方向相对于x轴正方向的转角为120°.设OQ＝(x1，y1)，则x1＝|OP|cos120°＝－1，y1＝|OP|sin120°＝.∴OQ＝(－1，)，∴Q点的坐标为(－1，)．答案：(－1，)4．已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的正半轴上，则向量2AB＋3BC＋AC的坐标为________．解析：在题设的直角坐标系下，有A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，所以AB＝(1,0)，BC＝(0,1)，AC＝(1,1)．所以2AB＋3BC＋AC＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4)．答案：(3,4)5．已知A(3,2)，B(0,5)，C(－2,1)，且CP＝2CA，求点P的坐标及BP的坐标．解：设P(x，y)，∵A(3,2)，B(0,5)，C(－2,1)，∴CP＝(x＋2，y－1)，CA＝(5,1)．∵CP＝2CA，∴(x＋2，y－1)＝(10,2)．由得∴P(8,3)，BP＝(8，－2)．6．已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)．(1)λ为何值时，点P在正比例函数y＝x的图象上？(2)设点P在第三象限，求λ的范围．解：(1)由AP＝AB＋λAC，得AP－AB＝λAC，即BP＝λAC.设P点的坐标为(xP，yP)，则(xP－5，yP－4)＝λ(5,7)．若P点在y＝x的图象上，则xP＝yP.设xP＝yP＝a，于是解得λ＝，∴当λ＝时点P在正比例函数y＝x的图象上．(2)P点在第三象限，∴xP＜0且yP＜0.由(1)知(xP－5，yP－4)＝λ(5,7)，得∴5λ＋5＜0且7λ＋4＜0，解得λ＜－1.∴点P在第三象限时λ的范围为(－∞，－1)．
