2.2.1平面向量基本定理课时跟踪检测[A组基础过关]1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B.3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1D.e2和e1＋e2解析：因为B中3e1－2e2和4e2－6e1为平行向量，所以不能作为一组基底．故选B.答案：B2．D是△ABC的边AB的中点，O为平面上任一点，则()A．2OD＝OA＋OBB.OD＋OC＝OA＋OBC.OD－OA＝OB＋ODD.OA＋OB＋OD＋OC＝0答案：A3．若G是△ABC的重心，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则GA＋GB＋GC等于()A．6GDB.－6GDC．－6GED.0解析：令GB的中点为P，连接DP，PE，得平行四边形GDPE(如图所示)，取向量GD，GE为一组基底，则有GB＝2GP＝2(GD＋GE)，GA＝－2GE，GC＝－2GD.上面三式两端相加，得GA＋GB＋GC＝0.故选D.答案：D4．已知向量a，b不共线，若AB＝λ1a＋b，AC＝a＋λ2b，且A，B，C三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为()A．λ1＝λ2＝1B.λ1＝λ2＝－1C．λ1λ2＝1D.λ1＋λ2＝1解析：∵A，B，C三点共线，∴AB与AC共线，∴存在一个实数t，使得AB＝tAC，∴λ1a＋b＝t(a＋λ2b)＝ta＋λ2tb，∴∴λ1λ2＝1.故选C.答案：C5．设O，A，M，B为平面上四点，OM＝λOB＋(1－λ)·OA，且λ∈(1,2)，则()A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O、A、B、M四点共线解析：由OM＝λOB＋(1－λ)OA，∴OM－OA＝λOB－λOA，∴AM＝λAB.∵λ∈(1,2)，∴M在AB的延长线上，故选B.答案：B6．设e1，e2为一组基底，a＝－e1＋2e2，b＝e1－e2，c＝3e1－2e2，用a，b为基底将c表示为c＝pa＋qb，则实数p＝________，q＝________.解析：由c＝pa＋qb，得3e1－2e2＝p(－e1＋2e2)＋q(e1－e2)＝(－p＋q)e1＋(2p－q)e2，∴∴p＝1，q＝4.答案：147．已知a，b不共线，且c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1＝________.答案：08.如图，在▱ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用c，d表示AB和AD.解：设AB＝a，AD＝b，则由M，N分别为DC，BC的中点可得BN＝b，DM＝a.AD＋DM＝AM，即b＋a＝c，①AB＋BN＝AN，即a＋b＝d.②由①②可得a＝(2d－c)，b＝(2c－d)，即AB＝(2d－c)，AD＝(2c－d)．[B组技能提升]1.如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为()A.B.C.1D.3解析：因为AN＝NC，所以AN＝AC.设BP＝λBN，则AP＝AB＋BP＝AB＋λBN＝AB＋λ(AN－AB)＝(1－λ)AB＋λAN＝(1－λ)AB＋AC，又AP＝mAB＋AC，所以有即答案：A2．P是△ABC内的一点，AP＝(AB＋AC)，则△ABC的面积与△BCP的面积之比为()A．2B.3C.D.6解析：设D为BC的中点，∵AP＝(AB＋AC)＝AD，∴P是△ABC中线AD的三等分点，AD∶PD＝3∶1，∴＝＝3.答案：B3．如图，设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△ABC与△AOC的面积之比为________．解析：设AC的中点为D，则OA＋OC＝2OD，∴2OD＝－2OB，∴OD＝－OB，故O为B，D的中点，∴＝＝.答案：2∶14．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD＝xAB＋yAC，则x＋y＝________.解析：过D作AB的垂线，垂足为M，∴∠DBM＝45°，∴DM＝BM.设AB＝AC＝1，∴DE＝BC＝，∴DB＝×＝，∴DM＝BM＝×＝，∴AD＝AM＋MD＝AB＋AC，∴x＝1＋，y＝，∴x＋y＝1＋.答案：1＋5.如图所示，已知四边形ABCD为矩形，且AD＝2AB，又△ADE为等腰直角三角形，AD＝DE，F为ED的中点，设EA＝a，EF＝b，试以a，b为基底表示向量AF，AB，AD，BD，BF.解：∵AF＝EF－EA＝b－a.又AD＝2AB＝DE，且F是DE的中点，∴四边形ABDF为平行四边形，∴BD＝AF＝b－a，AB＝EF＝b，AD＝AB＋AF＝b＋b－a＝2b－a，BF＝BA＋BD＝－b＋b－a＝－a.6．设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a.解：设a＝λ1b＋λ2c，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，∴∴∴a＝－b＋c.
