2.2.1向量加法运算及其几何意义A级：基础巩固练一、选择题1．在平行四边形ABCD中，下列式子：①AD＝AB＋BD；②AD＝AC＋CD；③AD＋AB＝AC；④AB＋BC＝AC；⑤AD＝AB＋BC＋CD；⑥AD＝DC＋CA.其中不正确的个数是()A．1B．2C．4D．6答案A解析DC＋CA＝DA，故⑥不正确；其他都正确．2．设a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是()①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.A．①②B．①③C．①③⑤D．②④⑤答案C解析a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)＝AB＋BC＋CD＋DA＝0，易知①③⑤正确．故选C.3．已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是()A.FD＋DA＝FAB.FD＋DE＋EF＝0C.DE＋DA＝ECD.DA＋DE＝FD答案D解析由向量加法的平行四边形法则可知，DA＋DE＝DF≠FD.4．已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是()A.AB＋BC＝CAB.AB＋AC＝BCC.AC＋BA＝ADD.AC＋AD＝DC答案C解析由四边形ABCD是菱形知CD＝BA，则AC＋BA＝AC＋CD＝AD.故选C.5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足PA＋PB＝PC，则下列结论中正确的是()A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P在△ABC的外部答案D解析由PA＋PB＝PC可得四边形PBCA为平行四边形，所以点P在△ABC的外部．二、填空题6．根据图示填空．(1)AB＋OA＝________；(2)BO＋OD＋DO＝________；(3)AO＋BO＋2OD＝________.答案(1)OB(2)BO(3)AD＋BD解析由三角形法则知(1)AB＋OA＝OA＋AB＝OB.(2)BO＋OD＋DO＝BD＋DO＝BO.(3)AO＋BO＋2OD＝(AO＋OD)＋(BO＋OD)＝AD＋BD.7．已知AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，AE＝e，则a＋b＋c＋d＝________.答案e解析a＋b＋c＋d＝AB＋BC＋CD＋DE＝AE＝e.8．若P为△ABC的外心，且PA＋PB＝PC，则∠ACB＝________.答案120°解析∵PA＋PB＝PC，则四边形APBC是平行四边形．又P为△ABC的外心，∴|PA|＝|PB|＝|PC|.因此，∠ACB＝120°.三、解答题9．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：AB＋AC＝AP＋AQ.证明AB＝AP＋PB，AC＝AQ＋QC，∴AB＋AC＝AP＋PB＋AQ＋QC.因为PB和QC大小相等、方向相反，所以PB＋QC＝0.故AB＋AC＝AP＋AQ＋0＝AP＋AQ.10．已知矩形ABCD中，宽为2，长为2，AB＝a，BC＝b，AC＝c，试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小．解作CE＝AC，如图，则a＋b＋c＝AE，a＋b＋c＝AB＋BC＋AC＝2AC＝2c，∴|a＋b＋c|＝|2AC|＝2＝8.B级：能力提升练1．在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40km到B地，再由B地沿正北方向飞行40km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．解如图所示，设AB，BC分别是直升飞机两次位移，则AC表示两次位移的合位移，即AC＝AB＋BC.在Rt△ABD中，|DB|＝20km，|AD|＝20km，在Rt△ACD中，|AC|＝＝40km，∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地40km处．2．已知船在静水中的速度为20m/min，水流的速度为10m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解作AB＝v水，AD＝v船，以AB，AD为邻边作▱ABCD，则AC＝v实际，如图．由题意可知∠CAB＝90°，在Rt△ABC中，|AB|＝|v水|＝10m/min，|BC|＝|AD|＝|v船|＝20m/min，∴cos∠ABC＝＝＝，∴∠ABC＝60°，从而船与水流方向成120°角．故船行进的方向与水流的方向成120°角．
