2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算课时跟踪检测[A组基础过关]1．平面向量a，b共线的充要条件是()A．a，b方向相同B．a，b两向量中至少有一个为零向量C．存在λ∈R，使b＝λaD．存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0解析：显然A，B项错；对于C，缺少条件a≠0，∴C项错，故选D.答案：D2．D为△ABC中BC边的中点，已知AB＝a，AC＝b，则下列向量与AD同向的是()A.B.＋C.D.－解析：由题可得AD＝(AB＋AC)＝(a＋b)，∴与AD同向的是.故选A.答案：A3．已知M，N，P三点在数轴上，且点P的坐标是5，MP＝2，MN＝8，则点N的坐标为()A．3B.11C．6D.7解析：设点M，N的坐标分别为x1，x2，∵点P的坐标是5，MP＝2，MN＝8，∴解得故点N的坐标为11.答案：B4．下列各组向量中，能推出a∥b的是()①a＝－3e，b＝2e；②a＝e1－e2，b＝－e1；③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋.A．①B.①②C．②③D.①②③解析：①中a＝－b，所以a∥b；②中b＝－e1＝＝－a，所以a∥b；③中b＝＝(e1＋e2)，若e1与e2共线，则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线．答案：B5．a，b是两个非零向量，a0，b0分别是与a，b同方向的单位向量，则下列命题中正确的是()A．若a∥b，则a0＝b0B．若a∥b，则|a0－b0|＝2C．若|a|＝1，则a＝a0D．若|a|＝|b|＝1，则a0＝b0或a0＝－b0解析：当a与b方向相同时，a0＝b0；而当a与b方向相反时，a0＝－b0.当a∥b时，a与b的方向可能相同，也可能相反，因而A，B均不正确；又a0＝，故当|a|＝1时，有a＝a0；选项D中，若a，b不共线，则无此结论，所以只有C正确．答案：C6．已知e是任一向量，a＝－2e，b＝5e，用a表示b，其结果是________．解析：由a＝－2e，得e＝－a，代入b＝5e，得b＝5＝－a.答案：b＝－a7．设e1，e2不共线，b＝e1＋λe2与a＝2e1－e2共线，则实数λ的值为________．解析：∵a∥b，则存在实数m，使b＝ma，∴e1＋λe2＝m(2e1－e2)．∴∴答案：－8．已知非零向量e1，e2不共线．如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．证明：∵AB＝e1＋e2，BD＝BC＋CD＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB，∴AB，BD共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．[B组技能提升]1．设e1与e2是两个不共线向量，AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1＋e2，CD＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为()A．－B.－C．－D.不存在解析：由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB＝λBD，又AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1＋e2，CD＝3e1－2ke2，∴BD＝CD－CB＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，∴3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，∴解得k＝－.故选A.答案：A2．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足：PA＋PB＋PC＝0，若实数λ满足：AB＋AC＝λAP，则λ的值为()A.B.C．2D.3解析：∵PA＋PB＋PC＝0，∴点P是△ABC的重心，取BC边中点为D，则AB＋AC＝2AD，∴2AD＝λAP，∴λ＝3.答案：D3．设点O在△ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|OD＋2OE|＝1，则|OA＋2OB＋3OC|＝________.解析：如图所示，易知|OA＋2OB＋3OC|＝|OA＋OC＋2(OB＋OC)|＝|2OD＋4OE|＝2.答案：24．如图，向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，A、B、C三点在一条直线上，且AC＝－3CB，则c＝________(用a，b表示)．解析：由AC＝－3CB，得OC－OA＝－3(OB－OC)，∴c－a＝－3(b－c)，∴c＝b－a.答案：b－a5．已知：在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b.求证：四边形ABCD为梯形．证明：如图所示，∵AD＝AB＋BC＋CD＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，∴AD＝2BC，∴AD与BC共线，且|AD|＝2|BC|，又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD∥BC，且AD＝2BC.∴四边形ABCD是以AD、BC为两条底边的梯形．6.如图所示，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在对角线BD上，且BN＝BD.求证：M，N，C三点共线．证明：设AB＝a，AD＝b，则MN＝MB＋BN＝AB＋BD＝AB＋(AD－AB)＝AB＋AD＝a＋b＝.MC＝MB＋BC＝AB＋AD＝a＋b.∴MN＝MC，∴向量MN与MC共线．又由于MN与MC有公共点M，故M，N，C三点共线．
