2.1.4数乘向量课时跟踪检测[A组基础过关]1.等于()A．2a－bB.2b－aC．b－aD.a－b解析：原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(6b－3a)＝2b－a.答案：B2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝()A.ADB.ADC.BCD.BC解析：EB＋FC＝EC＋CB＋FB＋BC＝EC＋FB＝AC＋AB＝AD，故选A.答案：A3．设x是未知向量，a，b是已知向量，且满足3(x＋a)＋3(b－a)＋x－a－2b＝0，则x等于()A.a－bB.a＋bC.a－bD.0解析：∵3(x＋a)＋3(b－a)＋x－a－2b＝0，∴4x＋3a－3a－a＋3b－2b＝0，∴4x＝a－b，∴x＝a－b，故选A.答案：A4.下列四个命题：①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb(m∈R)，则a＝b；④若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n.其中正确命题的个数是()A．1B.2C．3D.4解析：由向量的运算律知①②④正确，故选C.答案：C5．如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF＝()A.AD－ABB.AD－ABC.AB＋ADD.AB－AD解析：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AD，DC＝AB.∵点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，∴EC＝DC，CF＝CB，∴EF＝EC＋CF＝DC＋CB＝DC－BC＝AB－AD.答案：D6．若点C在线段AB上，＝，则AC＝________AB，BC＝________AB.解析：由题可知AC＝CB，∴AC＝AB，BC＝－AB.答案：－7．若2－(b－3x＋c)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量x＝________.解析：原式变形为2x－a－b＋x－c＋b＝0，∴x＝a－b＋c，∴x＝a－b＋c.答案：a－b＋c8．化简：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)－.解：(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)原式＝－＝－＝a＋b－a－b＝0.[B组技能提升]1．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面ABC内一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则点P与△ABC的关系为()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在直线上D．P是AC边的一个三等分点解析：∵AB＝PB－PA，∴PA＋PB＋PC＝PB－PA，即2PA＋PC＝0，故AP＝PC，∴P是AC边的一个三等分点．答案：D2．点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定过△ABC的()A．内心B.外心C．垂心D.重心解析：∵OP＝OA＋λ，∴OP－OA＝λ.∴AP＝λ.设AD＝，AE＝，如图所示，则AD与AB共线且同向，AE与AC共线且同向，AD和AE均是单位向量．设AD＋AE＝AG，则四边形ADGE是菱形，∴点G在∠BAC的平分线上.AP＝λAG，又∵λ∈[0，＋∞)，∴点P在射线AG上．∴点P的轨迹是∠BAC的平分线，一定过△ABC的内心，故选A.答案：A3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，AD＝3DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝________.解析：AD＝3DB，∴CD－CA＝3(CB－CD)，∴CD＝CA＋CB，∴λ＝.答案：4．已知四边形ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，对角线AC、BD的中点为E、F，则向量EF＝________.解析：如图所示，EF＝EC＋CD＋DF＝AC＋CD＋DB＝(AB＋BC)＋CD＋(DC＋CB)＝(AB＋DC)＋CD＝(AB＋CD)＝(a－2c＋5a＋6b－8c)＝3a＋3b－5c.答案：3a＋3b－5c5.如图，已知△OAB中，点C是以点A为对称中心的点B的对称点，OD＝2DB，DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b.用a，b表示向量OC，DC.解：由题意知A是BC的中点，则OA＝(OB＋OC)，从而OC＝2OA－OB＝2a－b，又OD＝2DB，所以OD＝OB＝b.DC＝OC－OD＝(2a－b)－b＝2a－b.6.如图，在△ABC中，在AC上取点N，使得AN＝AC，在AB上取点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，延长PA，与CM的延长线交于点Q，若AP＝QA，MQ＝λCM，试确定λ的值．解：AP＝NP－NA＝(BN＋NC)＝BC，QA＝MA－MQ＝BM＋λMC，∵AP＝QA，∴BM＋λMC＝BC，即λMC＝(BC－BM)＝MC.∴λ＝.
