高中数学 2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用优化训练 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学试题VIP免费

2.4.1向量在几何中的应用5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.在边长为1的等边△ABC中，若BC=a，CA=b，AB=c，则a·b+b·c+c·a等于（）A.23B.23C.3D.0解析：依题意，得a·b+b·c+c·a=3|a|2·cos120°=-23.答案：B2.四边形ABCD中，若AB=31CD，则四边形ABCD是（）A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形解析：由AB=31CDAB∥CD且AB≠CD，故四边形为梯形，选B.答案：B3.平面上不共线的三点A、B、C使得AB+BC所在的直线和AB-BC所在的直线恰好互相垂直，则△ABC必为_________________三角形.解析：如图所示，作ABCD，易知AB+BC=AC，AB-BC=AB-AD=BD.依题意知BD与AC互相垂直，故ABCD为菱形，从而△ABC为等腰三角形，∠B为顶角.答案：等腰4.通过点A(3，2)且与直线l：4x-3y+9=0平行的直线方程为________________.解：因向量(4，-3)与直线l垂直，所以向量n=(4，-3)与所求直线垂直.设P(x，y)为所求直线上的一动点，则AP=(x-3，y-2)，点P在所求直线上.当且仅当n·AP=0，即4(x-3)+(-3)(y-2)=0时，化简得4x-3y-6=0.答案：4x-3y-6=010分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.在△ABC中，有命题：①AB-AC=BC；②AB+BC+CA=0；③若(AB+AC)·(AB-AC)=0，则△ABC为等腰三角形；④若AC·AB＞0，则△ABC为锐角三角形.上述命题正确的是（）A.①②B.①④C.②③D.②③④解析：对于①，应有AB-AC=CB，故①错;对于④，由AC·AB＞0有|AC||AB|cosA＞0，∴cosA＞0.∴A为锐角.但B或C是否为锐角，不能肯定，故④错.②③是正确的.1答案：C2.设e是单位向量，AB=2e，CD=-2e，|AD|=2，则四边形ABCD是（）A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析：由AB=2e，CD=-2e，得ABCD.故为平行四边形.又|AD|=2，|AB|=2，∴四边形ABCD为菱形.答案：B3.直线3x+2y-6=0与向量n=(-2，3)的位置关系为（）A.平行B.相交C.垂直D.重合解析：由题知n=(-2，3)是直线3x+2y-6=0的方向向量，所以选A.答案：A4.过点A(3，-2)垂直于向量n=(5，-3)的直线方程是_______________.解析：设此直线方程为5x-3y+c=0，因为直线过A(3，-2)，∴5×3-3×(-2)+c=0.∴c=-21，即直线方程为5x-3y-21=0.答案：5x-3y-21=05.如图2-4-1，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.图2-4-1证明：设AB=a，AC=b，AD=e，DB=c，DC=d，则a=e+c，b=e+d，∴a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.由已知a2-b2=c2-d2，∴c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,∴e·(c-d)=0. BC=BD+DC=d-c，∴AD·BC=e·(d-c)=0.∴AD⊥BC，即AB⊥BC.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在△AOB中，OA=(2cosα，2sinα)，OB=(5cosβ，5sinβ)，若OA·OB=-5，则S△AOB等于()A.3B.23C.35D.235解析：|OA|=2，|OB|=5，cosθ=21||||OBOAOBOA，∴θ=120°.2∴S△AOB=21|OA|·|OB|sinθ=235.答案：D2.在平面上有A、B、C三点，设m=AB+BC，n=AB-BC，若m与n的长度恰好相等，则有（）A.A、B、C三点必在同一条直线上B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°D.△ABC必为等腰直角三角形解析：如图所示，作出ABCD，其中AB+BC=AC，AB-BC=AB-AD=BD.由于|m|=|n|，因此|AC|=|BD|，即ABCD的对角线AC与BD相等，故ABCD为矩形.所以△ABC为直角三角形，其中∠B=90°.答案：C3.和直线3x-4y+7=0平行的向量a及垂直的向量b分别是()A.a=(3，4)，b=(3，-4)B.a=(-3，4)，b=(4，-3)C.a=(4，3)，b=(3，-4)D.a=(-4，3)，b=(3，4)解析：由课本例题结论可知与直线Ax+By+C=0垂直的向量为(A，B)，平行的向量为(-B，A).答案：C4.已知△ABC的三个顶点A，B，C和平面内一点P，且PA+PB+PC=AB，则P与△ABC的位置关系是()A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上解析： PA+PB+PC=AB，∴PA+PC=AB+BP=AP，即PC=2AP.∴A，C，P三点共线，即P在边AC上.答案：D5.已知A(2，3)，B(3，4)，C(1，5)，则△ABC的重心G的坐标为()A.(4，2)B.(2，4)C.(-4，2)D.(-2，4)解析：由三角形的重心坐标公式,得若G(x，y)，,3543,3132yx即G(2，4).答案：B6.已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°，CD=DA=21AB，则AC与BC的位置关系是()3A.平行B.垂直C.共线D.不确定解析：以A为原点，...