平面向量的应用一、基本知识：1．在阅读、理解具有实际意义的文字材料的基础上，能准确、清晰、有条理地用向量的语言表述问题．2．能从实际问题中提炼、概括抽象出数学模型．3．能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法，求出数学模型的解．4．能结合实际意义，正确表述问题的解．5．能用向量知识简捷地处理其它数学分支相关问题．二、例题分析：例1某一天，一船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度3km/h，方向正东，风向北偏西30º，受风力影响，静水中船的飘行速度大小也为3km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2km/h．的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．分析撇开题设情境，提炼出四个速度，即水流速度v1，风的速度v2，船本身的速度v3，船的实际航行速度v，并且有v1＋v2＋v3=v，在这一等式中，v1、v2、v已知，v3可求．略解：设水的速度为v1，风的速度v2，v1＋v2=a，易求得a的方向是北偏东30º，a的大小为3km/h．设船的实际航行速度v，方向南向北，大小2km/h．．船本身的速度v3，则a+v3=v，即v3=v-a，数形结合知，v3方向是北偏西60º，大小为km/h．．点评四种速度融为一体，我们采纳分步合成，步步为营的策略．每一次合成只相当于求解用心爱心专心aVV3V1V2a了一个简单题．例2已知O为ΔABC所在平面内一点，满足|OA|2＋|BC|2=|CA|2＋|OB|2=|OC|2＋|AB|2．试证明O是ΔABC的垂心．分析已知等式是关于线段长度平方和的等式，OA与BC、OB与CA、OC与AB都不是同一个直角三角形中的线段，用纯平面几何知识证明相当困难．但线段长度平方和即向量模的平方，要证O是ΔABC的垂心，只需证得OA⊥BC，OB⊥CA，联想向量的数量积，只需证OA·BC=OB·CA=0．|OA|2＋|BC|2=|CA|2＋|OB|2，得a2＋（c－b）2=b2＋（a－c）2，c·b=a·c，即（b－a）·c=0．OC·AB=0，故AB⊥OC．同理CA⊥OB，BC⊥OA．故O是ΔABC的垂心．点评向量知识的应用领域很宽泛，中学数学所涉及的平几、方程、数列、不等式等等，都可以与向量综合，求解这类问题的关键在于揭去伪装，合理转化．例3．如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮A、B，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为m1和m2的物体（m1≠m2），另在两滑轮中间的一段绳子的O点处悬挂质量为m的另一物体，已知m1∶m2=OB∶OA，且系统保持平衡（滑轮半径、绳子质量均忽略不计）．求证：（1）∠AOB为定值；（2）＞2．用心爱心专心BOmm2Am1分析依据题意，我们可以作出物体的受力图，引用平衡条件可列出方程组，在方程组的变形中，探索∠AOB的大小，在求出∠AOB后，再向第2问结论努力．解（1）设两绳子AO、BO对物体m的拉力分别为F1、F2，物体m向下的重力为F，由系统平衡条件知F1+F2+F=0．如图，设∠BAO=α，∠ABO=β，根据平行四边形法则，得F2cosβ+F1cos（π－α）=0，F2sinβ+F1sin（π－α）＋F=0．即m2cosβ－m1cosα=0，①m2sinβ＋m1sinα=m．②在ΔAOB中，由正弦定理，得OB∶OA=sinα∶sinβ，将m1∶m2=sinα∶sinβ代入①，得sinβcosβ=sinαcosα，即sin2β=sin2α． m1≠m2，∴OA≠OB．∴α≠β，2α＋2β=180º．∴α＋β=90º，即∠AOB=90º．（２）由α＋β=90º，得cosβcosα＝sinβsinα．将①②平方相加，得m2=m12＋m22．由m2－2m1m2=m12＋m22－2m1m2=（m1－m2）2>0，得m2>2m1m2．∴＞2．点评向量在物理中的应用最常见的是力学问题，物体处于平衡状态即所受各力的合力为０，亦即向量之和为零向量，运用三角形法则、平行四边形法则及解斜三角形的基础知识可望得到问题的解．本题所列方程组，是根据物体水平方向、竖直方向所受各力的合力分别为０得到．用心爱心专心F2F1FBA三、训练反馈：１．如果一架向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则（A）A．s>|a|B．s<|a|C．s=|a|D．s与|a|不能比大小2．一条河宽为d，水流速度为v2，一船从岸边A处出发，垂直河岸线航行到河的正对岸B处，船在静水中的速度为v1，则船在航行过程中，船的实际航行速度大小为（C）A．|v1|B．C．D．|v1|－|v2|3．一艘船以4km/h的速度，沿着与水流方向成120º的方向航行，已知河水流速为2km/h，该船若航行6km...
