常见函数模型的构建与应用构建函数模型一般要将问题放到动态背景中考虑，将具体的生产、生活问题，转化为数学问题；然后引进变量,建立函数关系，寻求解决问题的最优途径或获得最大益处的最优点。下面结合例题介绍中学常见函数模型的构建与应用。一元二次函数模型例1：一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x（件）与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x，生产x件的成本R=500+30x元，（1）该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？（2）当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？解析：生产及销售问题是我们生活中的最常见的问题，如何保本及如何取得最大利润，是生产经营者最关心的问题，此问题的提出，学生较为熟悉。那么，我们如何将这个问题转化为数学问题呢？数学建模如下：(1）设该厂的月获利为y,依题意得：y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300所以：x2－65x+900≤0，即(x－20)(x－45)≤0，解得：20≤x≤45，所以当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元。(2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－265)2+1612新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆5因为x为正整数，所以x=32或33时，y取得最大值为1612元，所以当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆。评析：二次函数是我们最熟悉的一种特殊的初等函数,也是应用最广泛的函数之一，在现实生活中,常常遇到这样的情况：一个变量与另一个变量密切相关，如矩形的面积由长和宽决定，利润由售价和销售量确定等，这类实际问题往往可抽象成二次函数模型，然后再利用二次函数的相关性质进行求解。二．分段函数模型分段函数的应用极其广泛,如邮寄费、托运费、打车费、季节性销售收入等等,是刻画现实问题的重要模型。例2：已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入R(x)为万元，且22110.8(010)3()1081000(10)3xxRxxxx（1）写出年利润W(万元)关于年产品x千件的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？解析：由于每千件的销售收入因产量的变化而变化，所以年利润也会随之变化，数学建模如下：（1）由已知()(102.7)WxRxx，所以把R(x)代入得：38.110(010)301000982.7(10)3xxxWxxx。用心爱心专心（2）当010x时，2/8.110xW，另/0W得：9x，易验证此时取最大值，即38.6W（9）万元；当10x时，1000)98(2.7)982900383Wxxx（万元，当且仅当10002.73xx即1009x时取等号；综上所述：当年产量为9千件时，该公司所获年利润最大。评析：分段函数也是中学数学常见模型之一，现实生活中，当一个变量会随另一个变量在不同范围内取值时，满足的关系式不同，如打车费等，这类实际问题往往抽象成分段函数模型。但要注意的是分段函数是一个函数，解析式的写法、定义域、值域的求解要正确无误。三．分式函数模型分式函数是中学数学中常见的函数，它由幂函数复合变换而来，所以涉及到正方体的体积与边长关系、矩形的面积与边长关系等问题，都要转化为分式函数来解决。例3：有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段。为了保证安全，交通部门规定，大桥上的车距y(米)与车速x(千米/小时)和车身长l（米）的关系满足：212ykxll（k为正的常数）。假定车身长为4米。当车速为60千米/小时时，车距为2.66个车身长。写出车距y关于车速x的函数关系式；应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时的通过的车辆最多？解析：本题中的模型也是生活中的常见现象，但是单位时间内的车流量如何构建是解决本题的关键所在，建模如下：（1）因为当x=60时，2.66yl,代入得2.160.00063600lkl，所以20.00242yx...
