高一数学向量的线形运算通用版【本讲主要内容】向量的线形运算1.向量的概念2.向量的加法与减法3.实数与向量的积、向量共线的条件【知识掌握】【知识点精析】1.向量2.几个重要的概念3.向量的加法4.向量的减法5.实数与向量的积用心爱心专心6.两个向量共线的充要条件（向量共线定理）7.平面向量基本定理【解题方法指导】例1.判断下列命题的真假：（1）若与是共线向量，则A，B，C，D四点共线。（2）若，则A，B，C三点共线。（3）λ∈R，则|λa|＞|a|。（4）平面内任意三个向量中的每一个向量都可以用另外两个向量的线性组合表示。分析：本题涉及平行向量（共线向量）、向量的加法、平面向量基本定理、向量的模、实数与向量的积等重要概念、运算及定理。学习时，应注意这些定义、定理、法则的条件和结论。使用时，注意借用平面向量的几何表示，利用图形直观分析。解：四个命题均是错误的。命题（1）涉及对平面向量与共线向量的理解。由于我们研究的向量是自由向量，故任何一组平行向量均可移到同一条直线。因此平行向量就是共线向量，这与平面几何中所研究的直线或线段的平行、共线有区别。平面几何中平行与共线是指两种不同的位置关系，故这里所说的与共线，不能保证A，B，C，D四个点在一条直线上。所以命题（1）是不正确的。命题（2）中的，有A，B，C三点共线与不共线两种情形。如图1和图2所示。用心爱心专心因此，由不能保证A，B，C三点一定共线。故命题（2）不正确。但应提醒，命题（2）的逆命题是真命题，即若A，B，C三点共线，则。命题（3）是比较实数λ与向量a的乘积所得向量λa与a的模的大小。当a≠0时，|λ|≤1，|λa|≤|a|。当a=0时，不论λ为何实数，|λa|＝|a|=0。仅当|λ|＞1，且a≠0时，|λa|＞|a|。故命题（3）也不正确。命题（4）涉及平面向量基本定理，作为表示平面向量的一组基底必须是不共线的两个向量，才能保证平面内任何一个向量的线性组合形式存在而且唯一。忽略了不共线的条件，其结论可能不存在，或虽然存在但不唯一。如图3和图4所示，e1与e2是共线向量，而a与它们不共线，a无法用e1与e2的线性组合表示。若e1与e2是共线向量，a与它们也共线，则a关于e1与e2的线性组合形式不唯一。如图5，其中e2=－e1，=a=2e1。那么a=e1－e2，a=3e1＋e2，a=－2e2，…，形式不唯一，故命题（4）也是不正确的。图5正确的表述应为，平面内互不共线的三个向量中的每一个向量都可以用另外两个向量的线性组合表示。例2.如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点。求证：。用心爱心专心分析：注意到O是AC，BD的中点，与互为相反向量。证法一： O为平行四边形ABCD对角线的交点，∴①＋②＋③＋④，得证法二： O为平行四边形ABCD对角线AC与BD的交点，∴O为AC及BD的中点。故例3.在正六边形ABCDEF中，。分析：由平面几何的知识可以知道，正六边形的各边长相等，相对的边平行且相等，边长与其半径也相等。应用平行向量及相等向量的知识、向量的加法运算等，容易用a及b表示所求的向量。因为，而，所以求是关键。解法一：如图，连结FC交AD于O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF、四边形ABCO均是平行四边形。根据向量的平行四边形法则，有用心爱心专心在平行四边形ABCO中，又由于据向量加法的三角形法则，可得由正六边形的知识，有又解法二：即解法三：用心爱心专心说明：此题解法很多，关键是充分利用正六边形中线段的相等、平行关系，结合平行向量、相等向量的概念，向量的加、减运算及实数与向量的积运算，变形求解。例4.已知O为原点，A，B，C为平面内三点，求证A，B，C三点在一条直线上的充要条件是，且α，β∈R，α＋β=1。证明：必要性。设A，B，C三点共线，则与共线。于是存在实数λ，使。而令λ＝β，1－λ=α，有α＋β＝(1－λ)＋λ=1，充分性。若共线。而A为的公共端点，∴A，B，C三点在一条直线上。说明：在证明必要性时，A，B，C三点共线还可用=k，=k表示。本题的结论还可有更一般的形式：A，B，C三点在一条直线上的充要条件是存在实数h，k，l，使，且h＋k＋l＝1，l，k，h中至少有一个不为0。【考点突破】【考点指要】（1）理解向量的概念，掌握...
