高一数学典型例题分析 对数函数VIP专享VIP免费

对数函数·例题解析【例1】(1)y=log(2)y=11log(a0a1)(3)f(x)[01]y=f[log(3x)]12a13求函数的定义域．求函数＞，且≠的定义域．已知函数的定义域是，，求函数－的定义3221xxxa()域．解(1)由≥＞≠≤＞≠≤＜或＞≠log()()1232210322102103221132210121210122312xxxxxxxxxxxxxxx121122312231＜≤＜或＞≠＜≤xxxxx∴所求定义域为＜≤{x|23x1}解(2) 1－loga(x＋a)＞0，∴loga(x＋a)＜1．当a＞1时，0＜x＋a＜a，∴函数的定义域为(－a，0)．当0＜a＜1时，x＋a＞a，∴函数的定义域为(0，＋∞)．解(3)f(x)[01]y=f[log(3x)]13 的定义域为，，∴函数－有意义，必须满足≤－≤，即≤－≤，∴≤－≤，∴≤≤．故函数－的定义域为，．0log(3x)1loglog(3x)log13133x12xy=f[log(3x)][2]131313131318383【例2】y=10x已知函数，试求它的反函数，以及反函数的定义110x域和值域．用心爱心专心1解y=10y1y=10(1y)10=y10=y1y00y1xxxx已知函数的定义域为， ∴≠，由得－，∴＞＜＜，即为函数的值域．R110110xx由得，即反函数．10=y1yx=lgy1yf(x)=lgx1xx1反函数的定义域为(0，1)，值域为y∈R．【例3】作出下列函数的图像，并指出其单调区间．(1)y=lg(－x)，(2)y=log2|x＋1|(3)y=|log(x1)|(4)ylog(1x)122－，＝－．解(1)y=lg(－x)的图像与y=lgx的图像关于y轴对称，如图2．8－3所示，单调减区间是(－∞，0)．解(2)先作出函数y=log2|x|的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得y＝log2|x＋1|的图像如图2．8－4所示．单调递减区间是(－∞，－1)．单调递增区间是(－1，＋∞)．解(3)y=logx1y=log(x1)1212把的图像向右平移个单位得到－的图像，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到轴上方，就得到－的图像．如图．－xy=|log(x1)|28512所示．单调减区间是(－1，2]．单调增区间是[2，＋∞)．解(4) 函数y=log2(－x)的图像与函数y=log2x的图像关于y轴对称，故可先作y=log2(－x)的图像，再把y＝log2(－x)的图像向右平移1个单位得到y=log2(1－x)的图像．如图2．8－6所示．单调递减区间是(－∞，1)．用心爱心专心2【例4】图2．8－7分别是四个对数函数，①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx的图像，那么a、b、c、d的大小关系是[]A．d＞c＞b＞aB．a＞b＞c＞dC．b＞a＞d＞cD．b＞c＞a＞d解选C，根据同类函数图像的比较，任取一个x＞1的值，易得b＞a＞1＞d＞c．故选C．【例5】已知loga3＞logb3，试确定a和b的大小关系．解法一令y1=logax，y2=logbx， logax＞logb3，即取x＝3时，y1＞y2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：(1)当loga3＞logb3＞0时，由图像2．8－8，取x=3，可得b＞a＞1．(2)当0＞loga3＞logb3时，由图像2．8－9，得0＜a＜b＜1．(3)当loga3＞0＞logb3时，由图像2．8－10，得a＞1＞b＞0．解法二由换底公式，化成同底的对数．当＞＞时，得＞＞，∴＞＞，log3log300logbloga0ab331133loglogab 函数y=log3x为增函数，∴b＞a＞1．当＜＜时，得＜＜，∴＞＞，log3log3000logblogaba331133loglogba 函数y=log3x为增函数，∴0＜a＜b．当＞＞时，得＞＞∴＞＞，log30log30loga0logbab331133loglogab即a＞1＞b＞0．【例6】aba1logloglogalogb2abba若＞＞＞，则、、、的大小abba顺序是：________．用心爱心专心3解aba1011logab0logba00loga1logb1aba1a1logloga1logloglogalogb2abba2bbabba ＞＞＞，∴＜＜，＞，∴＜，＞，＜＜，＞．由＞＞＞得＞＞∴＜＜，故得：＜＜＜．abbababaabba说明本题解决的思路，是把已知的对数值的正负，或大于1，小于1分组，即借助0、1作桥梁这个技巧，使问题得以解决．【例7】设0＜x＜1，a＞1，且a≠1，试比较|loga(1－a)|与|loga(1＋x)|的大小．解法一求差比大小．|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|lg(1x)lga||lg()lg||lg|(|lg()||lg()|1111xaaxx=1|lga|(lg(1x)lg(1x)(01x111x)=lg(1x)02－－－＋ ＜－＜＜＋＋－·－＞1|lg|a∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|解法二求商比较大小|log()||log()||log()log()|a...