第1课时不等式的概念和性质1、实数的大小比较法则：设a，b∈R，则a>b；a＝b；ab定理2（同向传递性）a>b，b>c定理3a>ba＋c>b＋c推论a>b，c>d定理4a>b，c>0a>b，c<0推论1(非负数同向相乘法)a>b≥0，c>d≥0推论2a>b＞0nnba(nN且n>1)定理5a>b＞0nanb(nN且n>1)例1.设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0，x≠1．比较f(x)与g(x)的大小.解：(1)(x2－y2)(x＋y)＜(x2＋y2)(x－y)(2)aabb＞abba变式训练1：不等式log2x+3x2＜1的解集是____________.答案：{x|－23＜x＜3且x≠－1,x≠0}。解析：：2231023xxx或202313,,11,00,3223xxxx。例2.设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0，x≠1．比较f(x)与g(x)的大小.解：当0＜x＜1或x＞34时，f(x)＞g(x)；当1＜x＜34时，f(x)＜g(x)；当x＝34时，f(x)＝g(x).变式训练2：若不等式(－1)na＜2＋nn1)1(对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是.例3.函数)(xf＝ax2＋bx满足：1≤)1(f≤2，2≤)1(f≤4，求)2(f的取值范围．解：由f(x)＝ax2＋bx得f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b典型例题a＝21[f(1)＋f(－1)]，b＝21[f(1)－f(－1)]则f(－2)＝2[f(1)＋f(－1)]－[f(1)－f(－1)]＝3f(－1)＋f(1)由条件1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4可得3×1＋2≤3f(－1)＋f(1)≤3×2＋4得f(－2)的取值范围是5≤f(－2)≤10.变式训练3：若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是.解：(－3，3)例4.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，当p、q满足p＋q＝1时，试证明：pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)对于任意实数x、y都成立的充要条件是o≤p≤1.证明： pf(x)＋qf(y)－f(px＋qy)＝pq(x－y)2＝p(1－p)(x－y)2充分性：当0≤p≤1时，2))(1(yxpp≥0从而)()()(qypxfyqfxpf必要性：当)()()(qypxfyqfxpf时，则有2))(1(yxpp≥0，又2)(yx≥0，从而)1(pp≥0，即0≤p≤1．综上所述，原命题成立．变式训练4：已知a＞b＞c，a＋b＋c＝0，方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根为x1、x2．(1)证明：－21＜ab＜1；(2)若x21＋x1x2＋x22＝1，求x21－x1x2＋x22；(3)求|x21－x22|．解：(1) a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴3a＞a＋b＋c，a＞b＞－a－b，∴a＞0，1＞abab1∴－121ab(2)（方法1） a＋b＋c＝0∴ax2＋bx＋c＝0有一根为1，不妨设x1＝1，则由1222121xxxx可得,0)1(22xx而)03(0212cbacacxxx，∴x2＝－1，∴3222121xxxx(方法2) acxxabxx2121,由222221221222121)(abacabxxxxxxxx＋1122abababa，∴,022abab ,0,121abab∴2121222121xxxxxxx3)(21212212122abaxxxxx(3)由(2)知，1)1()(11222222221ababaacxx∴2121ab，∴4)1(412ab∴31)1(432ab∴3,02221xx第2课时算术平均数与几何平均数1．a>0，b>0时，称为a，b的算术平均数；称为a，b的几何平均数．2．定理1如果a、bR，那么a2＋b22ab（当且仅当时取“＝”号）3．定理2如果a、bR，那么2ba≥（当且仅当a＝b时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．已知x、yR，x＋y＝P，xy＝S.有下列命题：(1)如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值．(2)如果P是定值，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值．例1．设a、bR，试比较2ba，ab，222ba，ba112的大小．解： a、bR+，∴ba11≥2ab1即ba112≤ab，当且仅当a＝b时等号成立．又42)2(222abbaba≤42222baba＝222ba∴2ba≤222ba当且仅当a＝b时等号成立．而ab≤2ba于是ba112≤ab≤2ba≤222ba(当且仅当a＝b时取“＝”号)．说明：题中的ba112、ab、2ba、222ba分别叫做正数的调和平均数，几何平均...
