舒兰一中高一下学期数学周测（十二）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)1．与向量a＝(1，)的夹角为30°的单位向量是()A．(，)或(1，)B．(，)C．(0,1)D．(0,1)或(，)2．设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝C．a－b与b垂直D．a∥b3．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(1,2)4．已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，则a＋b＋c的模等于()A．0B．2＋C.D．25．已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，则向量a在向量b上的投影等于()A．－4B．4C．－D.6．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于()A．－a＋bB.a－bC.a－bD．－a＋b7．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于()A．6B．5C．4D．38．向量BA＝(4，－3)，向量BC＝(2，－4)，则△ABC的形状为()A．等腰非直角三角形B．等边三角形C．直角非等腰三角形D．等腰直角三角形9．设点A(1,2)、B(3,5)，将向量AB按向量a＝(－1，－1)平移后得到A′B′为()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,7)10．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是()A.B.C.D.11．在菱形ABCD中，若AC＝2，则CA·AB等于()A．2B．－2C．|AB|cosAD．与菱形的边长有关12.已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是()A.P1P2·P1P3B.P1P2·P1P4C.P1P2·P1P5D.P1P2·P1P6题号123456789101112答案二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将最简答案填在题后横线上。）13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.114．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.15．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________．16.半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA＋PB)·PC的最小值是________．三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)．(1)若|c|＝2，且c∥a，求c；(2)若|b|＝，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a与b的夹角．18．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时：(1)c∥d；(2)c⊥d.219．已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP2|＝|OP3|＝1.求证：△P1P2P3是正三角形．20．已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.3舒兰一中高一下学期数学周测（十二）参考答案：1—12DCDDABCCBABA13.－114.315.616.－16.解析因为点O是A，B的中点，所以PA＋PB＝2PO，设|PC|＝x，则|PO|＝1－x(0≤x≤1)．所以(PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝－2x(1－x)＝2(x－)2－.∴当x＝时，(PA＋PB)·PC取到最小值－.17.解(1)∵c∥a，∴设c＝λa，则c＝(λ，2λ)．又|c|＝2，∴λ＝±2，∴c＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0.∵|a|＝，|b|＝，∴a·b＝－.∴cosθ＝＝－1，∴θ＝180°.18.解由题意得a·b＝|a||b|cos60°＝2×3×＝3.(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝.(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，∴k＝－.19.证明∵OP1＋OP2＋OP3＝0，∴OP1＋OP2＝－OP3，∴(OP1＋OP2)2＝(－OP3)2，∴|OP1|2＋|OP2|2＋2OP1·OP2＝|OP3|2，∴OP1·OP2＝－，cos∠P1OP2＝＝－，4∴∠P1OP2＝120°.∴|P1P2|＝|OP2－OP1|＝＝＝.同理可得|P2P3|＝|P3P1|＝.故△P1P2P3是等边三角形．20.证明如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．(1)BE＝OE－OB＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，CF＝OF－OC＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)，∵BE·CF＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，∴BE⊥CF，即BE⊥CF.(2)设P(x，y)，则FP＝(x，y－1)，CF＝(－2，－1)，∵FP∥CF，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.同理由BP∥BE，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.解得x＝，∴y＝，即P.∴AP2＝2＋2＝4＝AB2，∴|AP|＝|AB|，即AP＝AB.5
