固定边矩形膜振动的膜态分析Page1of8固定边矩形膜振动的膜态分析戴玲燕摘要：膜振动有二维的，三维的，膜边界形状有规则和不规则的，本文是关于对固定边矩形膜振动的研究。首先写出固定边矩形膜的定解问题，运用数学物理方程中所涉及的方法，例如分离变量法，拉普拉斯变换法对其进行求解，此处我们用分离变量法求解，得出任一时刻矩形框内任一处膜振动的位移，由于运用数学物理方程中所涉及的方法，得出精确解的形式不是积分就是级数，我们很难从解的表达式中直观理解矩形膜振动的特性，所以可以借助图像的直观生动这些特性从而进一步了解矩形膜振动的特性，这就需要运用MATLAB对解析解模拟，可视化。最后对矩形膜振动的振动过程进行讨论。关键词：膜振动，分离变量，MATLAB，可视化引言现实生活中膜振动的例子很多，不少实际生产中经常用到膜振动，如电话的话筒和听筒就用到了膜振动的原理。数学物理方程中，描述膜振动过程的数学模型是膜振动方程。膜振动有二维的，三维的，膜边界形状有规则和不规则的，定结问题的解与初始条件和边界条件有密切关系。到目前为止，对于矩形膜的描述已有大量的资料参考，很多资料都导出了膜振动的方程。如哈尔滨工业大学数学系组编的《数学物理方程》，复旦大学数学系组编的《数学物理方程》等等。对于矩形膜振动的膜态分析，彭芳麟编写的《数学物理方程的MATLAB解法与可视化》用分离变量法的方法做了一定分析。本文中我们用分离变量法求解矩形区域内二维膜振动方程，然后用MATLAB的方法对其可视化，并对物理过程进行讨论。一用分离变量法求解膜振动的混合问题（一）长为c宽为b的矩形膜，其矩形框固定不变，若给定矩形框内任意处特定位移，在不受外界情况影响下，矩形膜的振动情况，定解问题为式（1）是膜振动的方程，完整式应是+f。其中u是膜振动过程中，任意处的横向位移，是的函数，a是任意实数，f也是的函数。这里f取0。式（2）是矩形的边界条件，在长为c宽为b的矩形框的四周，函数值为0。式（3）是初始条件，在时间t=0时刻任意处的横向位移u的值取为，横向位移u对时间t的一阶偏导在时刻t=0的函数值取为0。（二）解定解问题的分离变量法①设（1）式有可以分离变量的特解将上式带入（1）式，得到或1固定边矩形膜振动的膜态分析Page2of8式（5）的左边是时间t的函数，右边是的函数，t与之间是相互独立的，所以只有当等式两边都是常数时，等式才能成立。令这个常数为，则有由此得到两个常微分方程其中称为分离常数，为矩形边界对v继续分离变量，令带入（7）式得以XY除（8）式左右两边并将移到等式右边得为使上式在矩形中成为恒等式，两边应取常数值，有②求出（1）式满足边界条件（2）的足够数目的特解结合得两个定解问题对（11）式进行求解当时，方程都只有平凡解，因此当这时方程的通解为带入边界条件得为使不恒为零，应有故2固定边矩形膜振动的膜态分析Page3of8于是得满足这等式的值就是特征值，记为,即相应的特征函数为对（12）式求解同理，只有时才有非平凡解，对（12）式求解，得特征值相应的特征函数为故将上式带入（7）式得③对（6）式进行求解对于每一特征值，方程的解是于是我们得到方程（1）满足边界条件（2）的可分离变量的一系列特解④求出方程（1）满足初始条件（3）的解将（13）式叠加起来，记其和为，则将初始条件代入（14）式，得由初始条件定出3固定边矩形膜振动的膜态分析Page4of8最终的解为从这个解中可以看出，矩形膜的本征函数和本征值分别是（二）用MATLAB方法求解膜振动的混合问题对分离变量法所求的解析解，我们用MATLAB解法进行模拟，可视化，可得如下所示的模拟图4固定边矩形膜振动的膜态分析Page5of85固定边矩形膜振动的膜态分析Page6of86固定边矩形膜振动的膜态分析Page7of8物理意义如上系图所示：横坐标长c取为1，纵坐标宽b取为2，它们固定不变，高表示膜振动的幅度，由于不同区域膜振动幅度不同，为便于直观，不同区域膜振动用不同颜色表示，Time=p（p=10，11，。。。，18）表示各个时刻不同区域膜振动。膜振动是一个连续的过程，由于条件的限制，不可能将这过程一一显示在纸上，因此选特定时刻。当矩形膜振动到特...
