配速法处理摆线运动问题带电粒子垂直磁场方向进入磁场与重力场、电场的叠加场,如果粒子所受重力、电场力没有能够平衡,则粒子的运动轨迹将是一条摆线(滚轮线、最速落线),处理这类摆线运动,有三种常见的方法——运动分解法(配速法)、微分方程法(见熊志权《物理原理不能这样考》)和转换参考系法(见陈恩谱《物理原来可以这样学》),其中,后两种方法——一个涉及微分方程求解,另一个涉及到洛伦兹变换——对中学生而言都不方便理解,配速法是中学老师喜欢讲、学生也乐于接受的方法。不过,中学阶段,大部分老师讲配速法讲得并不严谨——除了最开始一刻那种分解没问题之外,此后的运动过程,除匀速直线运动这个分运动外,另一个分运动果真就是速率不变的匀速圆周运动?如何严格证明?会不会出现更复杂的情况?笔者通过深入思考,借鉴江苏丹阳聂宇栋老师的思路,特对配速法的原理作一深入剖析,并以四个具体的例题的方式详细介绍配速法使用技巧。一、配速法及其数学基础1、配速法的操作过程配速法原本只在竞赛中涉及,但是2013年、2015年福建高考两次涉及到了摆线运动,其中2013年最典型,下面以这个高考题来展开配速法的操作过程。【例题】(2013年福建理综·第22题改编)如图,空间存在—范围足够大的垂直于xoy平面向外的匀强磁场和沿y轴正向的匀强电场,磁感应强度大小为B,电场强度大小为E。让质量为m,电量为q(q>0)的粒子从O点以初速度v0沿y轴正向发射。不计重力和粒子间的影响,求该粒子运动过程中的最大速度值vm。【解析】将v0按平行四边形定则分解为v和v,且使v121满足qvBqE,即v引起的洛伦兹力与粒子所受电场力平衡,v引起的分运动是沿x轴正方向的匀速直线运动;而v1211v2v0引起的洛伦兹力将导致粒子在xoy平面内做匀速圆周运动,mv其半径为R2。粒子实际的运动就是这两个分运动的qB合运动。当粒子圆周分运动的速度也沿x轴正方向时,粒子2EE。的合速度最大,为v1vvv12BvBm20从例题的展示我们可以总结出以下两条:其一,将带电粒子的速度进行这样的分解——其中一个分速度v1引起的洛伦兹力与电场力(或重力、或重力电场力的合力)平衡;其二,按前述分解后,得到带电粒子的两个分运动——v1引起的匀速直线运动和v2引起的匀速圆周运动,则带电粒子的实际运动是这两个分运动的合运动。2、配速法的数学基础设一带电粒子电荷量为q、质量为m,它以某一初速度v射入一磁场B和恒力场F中,则由牛顿第二定律,有dvFqvBm令dtvv,其中v1保持不变,且满足FqvBv1210,则有Fq(v1v)2d(vv)Bm12dt即qv1Bqv2FdvdvdvBm1mdtdt,2由于v1保持不变,1dt0,则有qv2Bdvm2dtBdvmdtv22也就是说,粒子除了速度v1引起的匀速直线运动外,另一个分运动的动力学方程为qv22而这正好是带电粒子在只有磁场时的动力学方程,该方程有两类解:其一,若粒子以速度v垂直磁场方向进入磁场(v22B),则粒子作匀速圆周运动:qvBm;2r其二,若粒子以速度v2斜射入磁场(v2与磁场既不垂直也不平行),则粒子作等距螺旋运动。本文讨论的是垂直进入磁场情况,因此v2引起的就是匀速圆周运动。二、配速法的应用举例在图示空间内有垂直于xOy平面的水平匀强磁场。一带电小球从O点由静止释放,运动轨迹如图中曲线。关于带电小球的运动,下列说法中正确的是()A.OAB轨迹为半圆B.小球运动至最低点A时速度最大,且沿水平方向C.小球在整个运动过程中机械能增加D.小球在A点时受到的洛伦兹力与重力大小相等【例1】(2018·蚌埠模拟)如图所示,xOy坐标平面在竖直面内,x轴沿水平方向,y轴正方向竖直向上,[解析]小球释放后,除了受到重力外,开始阶段还受到向右侧的洛伦兹力的作用。可以假定小球带正电,且磁场方向垂直纸面向里。小球初速度为0,可以将这个初速度分解为向右的速度v1和向左的速度v2,则两者大小关系为v1=v2,且使满足qvBmg。则根据前述分析可知,小球的运动可看做是v1引起的向右的匀速直线运动和v2引1起的一开始向左的逆时针匀速圆周运动的两个分运动的合运动。v2v1很显然,小球的轨迹不是半圆,而是摆线,A错;小球运动至最低点A时速度为向右的v2和v1的矢量和,即2v1,其他位置v2和v1的矢量和都小于2v1,故B正确;...