苏教版高中数学必修五《不等式恒成立》专题学案VIP专享VIP免费

不等式的恒成立一．什么叫不等式的恒成立？这个概念起源于函数的最大值和最小值的定义。关于x的不等式f(x)≥0对于x在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。常见的有：等等。。。其形式与函数的最值关系如下：其几何形式为：一个函数图像在另一个函数图像的上方或下方练习：1.下列哪些关系是恒成立的？（1）当时，（2）当时，（3）当时（4）若对任意的，都有。例题一：1.已知函数，求证当时，f(x)的最小值为f(-2)；说明是否恒成立？变式：例题二：变式：若函数在区间上有意义，求常数m的取值范围。思考：变式与“的定义域为，求常数m的取值”有什么不同？12..已知函数（1）判断函数在上的单调性。（2）若不等式对任意的恒成立，求常数a的取值范围。3．若函数图像恒在函数图像的下方，求常数k的取值范围。变式：二次函数的图像顶点为,且图像在轴上截得的线段长8.（1）求这个二次函数的解析式；（）（2）在区间[－1，1]上，的图象恒在一次函数的图象上方，试确定实数的范围。（）二．练习：1．求证：当时，不等式对于一切的实数x恒成立。2．不等式对恒成立，求x的取值范围。3．已知函数。①若函数的定义域为，求k的值。②若函数在区间上有意义，求k的取值范围。24.已知函数对任意的恒有求a的取值范围。5.若函数对区间内任意两个相异的实数恒有，求常数a的取值范围.观摩题20．(本小题满分10分)11-12南京市2011－2012学年度第一学期高一期末调研设函数f(x)＝x2－2tx＋2，其中t∈R．(1)若t＝1，求函数f(x)在区间[0，4]上的取值范围；(2)若t＝1，且对任意的x∈[a，a＋2]，都有f(x)≤5，求实数a的取值范围．(3)若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8，求t的取值范围．20.（本小题16分）定义在D上的函数)(xf，如果满足：对任意Dx，存在常数0M，都有|()|fxM成立，则称fx是D上的有界函数，其中M称为函数fx的上界.已知函数11124xxfxa，（1）当1a时，求函数fx在,0上的值域，并判断函数fx在,0上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数fx在0,上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；解：（1）当1a时，11()124xxfx，，即)(xf在,1的值域为3,………5分故不存在常数0M，使|()|fxM成立所以函数fx在,1上不是有界函数。……6分（2）由题意知，3)(xf在1,上恒成立。………7分3)(3xf，xxxa412214143∴xxxxa21222124在0,上恒成立………9分∴minmax21222124xxxxa………11分设tx2，ttth14)(，tttp12)(，由x0,得t≥1，设121tt，2112121241()()0tttththttt012)()(21212121tttttttptp所以)(th在1,上递减，)(tp在1,上递增，………14分（单调性不证，不扣分）)(th在1,上的最大值为(1)5h，)(tp在1,上的最小值为(1)1p所以实数a的取值范围为5,1。…………………………………16分4