不等式的恒成立一.什么叫不等式的恒成立?这个概念起源于函数的最大值和最小值的定义。关于x的不等式f(x)≥0对于x在某个范围内的每个值不等式都成立,就叫不等式在这个范围内恒成立。常见的有:等等。。。其形式与函数的最值关系如下:其几何形式为:一个函数图像在另一个函数图像的上方或下方练习:1.下列哪些关系是恒成立的?(1)当时,(2)当时,(3)当时(4)若对任意的,都有。例题一:1.已知函数,求证当时,f(x)的最小值为f(-2);说明是否恒成立?变式:例题二:变式:若函数在区间上有意义,求常数m的取值范围。思考:变式与“的定义域为,求常数m的取值”有什么不同?12..已知函数(1)判断函数在上的单调性。(2)若不等式对任意的恒成立,求常数a的取值范围。3.若函数图像恒在函数图像的下方,求常数k的取值范围。变式:二次函数的图像顶点为,且图像在轴上截得的线段长8.(1)求这个二次函数的解析式;()(2)在区间[-1,1]上,的图象恒在一次函数的图象上方,试确定实数的范围。()二.练习:1.求证:当时,不等式对于一切的实数x恒成立。2.不等式对恒成立,求x的取值范围。3.已知函数。①若函数的定义域为,求k的值。②若函数在区间上有意义,求k的取值范围。24.已知函数对任意的恒有求a的取值范围。5.若函数对区间内任意两个相异的实数恒有,求常数a的取值范围.观摩题20.(本小题满分10分)11-12南京市2011-2012学年度第一学期高一期末调研设函数f(x)=x2-2tx+2,其中t∈R.(1)若t=1,求函数f(x)在区间[0,4]上的取值范围;(2)若t=1,且对任意的x∈[a,a+2],都有f(x)≤5,求实数a的取值范围.(3)若对任意的x1,x2∈[0,4],都有|f(x1)-f(x2)|≤8,求t的取值范围.20.(本小题16分)定义在D上的函数)(xf,如果满足:对任意Dx,存在常数0M,都有|()|fxM成立,则称fx是D上的有界函数,其中M称为函数fx的上界.已知函数11124xxfxa,(1)当1a时,求函数fx在,0上的值域,并判断函数fx在,0上是否为有界函数,请说明理由;(2)若函数fx在0,上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围;解:(1)当1a时,11()124xxfx,,即)(xf在,1的值域为3,………5分故不存在常数0M,使|()|fxM成立所以函数fx在,1上不是有界函数。……6分(2)由题意知,3)(xf在1,上恒成立。………7分3)(3xf,xxxa412214143∴xxxxa21222124在0,上恒成立………9分∴minmax21222124xxxxa………11分设tx2,ttth14)(,tttp12)(,由x0,得t≥1,设121tt,2112121241()()0tttththttt012)()(21212121tttttttptp所以)(th在1,上递减,)(tp在1,上递增,………14分(单调性不证,不扣分))(th在1,上的最大值为(1)5h,)(tp在1,上的最小值为(1)1p所以实数a的取值范围为5,1。…………………………………16分4