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隐圆模型解析版VIP免费

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隐圆模型【点睛1】触发隐圆模型的类型(1)动点定长模型若P为动点,但AB=AC=AP则B、C、P三点共圆,A圆心,AB半径(2)直角圆周角模型固定线段AB所对动角∠C恒为90°则A、B、C三点共圆,AB为直径(3)定弦定角模型固定线段AB所对动角∠P为定值则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆原理:圆A中,AB=AC=AP备注:常转全等或相似证明出定长原理:圆O中,圆周角为90°所对弦是直径备注:常通过互余转换等证明出动角恒为直角原理:弦AB所对同侧圆周角恒相等备注:点P在优弧、劣弧上运动皆可-1-(4)四点共圆模型①若动角∠A+动角∠C=180°原理:圆内接四边形对角互补则A、B、C、D四点共圆备注:点A与点C在线段AB异侧(5)四点共圆模型②固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C原理:弦AB所对同侧圆周角恒相等则A、B、C、P四点共圆备注:点P与点C需在线段AB同侧【点睛2】圆中旋转最值问题条件:线段AB绕点O旋转一周,点M是线段AB上的一动点,点C是定点(1)求CM最小值与最大值(2)求线段AB扫过的面积(3)求S△ABC最大值与最小值作法:如图建立三个同心圆,作OM⊥AB,B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆结论:①CM1最小,CM3最大②线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积③S△ABC最小值以AB为底,CM1为高;最大值以AB为底,CM2为高-2-典题探究启迪思维探究重点例题1.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN,连接A`C,则A`C长度的最小值是__________.DCMA'【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN,可得MA’=MA=1,所以A’轨迹是以M点为圆心,MA为半径的圆弧.连接CM,与圆的交点即为所求的A’,此时A’C的值最小.构造直角△MHC,勾股定理求CM,再减去A’M即可,答案为7-1.DCANBDA'CHMDA'CMMA'ANBANBANB变式练习>>>1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是__________.APFBCE【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE,可得P点轨迹是以F点为圆心,FC为半径的圆弧.过F点作FH⊥AB,与圆的交点即为所求P点,此时点P到AB的距离最小.由相似先求FH,再减去FP,即可得到PH.答案为1.2.AAHPFPFBCECEB-3-例题2.如图,已知圆C的半径为3,圆外一定点O满足OC=5,点P为圆C上一动点,经过点O的直线l上有两点A、B,且OA=OB,∠APB=90°,l不经过点C,则AB的最小值为________.CP【分析】连接OP,根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点,可得OP是AB的一半,若AB最小,则OP最小即可.连接OC,与圆C交点即为所求点P,此时OP最小,AB也取到最小值.答案为4.AOBlCPPCAOBlAOBl变式练习>>>2.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点,AE=2,△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ,连接PF、PD,则PF+PD的最小值是_________.AEFQBPCD答案为8.【分析】F点轨迹是以E点为圆心,EA为半径的圆,作点D关于BC对称点D’,连接PD’,PF+PD化为PF+PD’.连接ED’,与圆的交点为所求F点,与BC交点为所求P点,勾股定理先求ED‘,再减去EF即可.AEFDAEFDQBPCQBPCD'D'-4-例题3.如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H,若正方形边长为2,则线段DH长度的最小值是________.AHGEFDBC【分析】根据条件可知:∠DAG=∠DCG=∠ABE,易证AG⊥BE,即∠AHB=90°,所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧当D、H、O共线时,DH取到最小值,勾股定理可求.答案为51EHEHOαBαCBααCAαFGDAαFGDAHODBC变式练习>>>3.如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=8,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值是_________.APBC答案为424【分析】 ∠PBC+∠PBA=90°,∠PBC=∠PAB,∴∠PAB+∠PBA=90°,∴∠APB=90°,∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧.当O、P、C共线时,CP取到最小值,勾股定理先求OC,再减去OP即可.AAOPBCOPBC-5-例题4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AC=10,点D是AC上的一个动点,以CD为直径作圆O,连接BD交圆O于点E,则AE的最小值为_________.ADOCE...

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