高考讲坛极值点偏移问题的处理策略及探究VIP免费

极值点偏移问题的处理策略及探究所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数f(x)在xx0处取得极值，且函数yf(x)与直线yb交于A(x1,b),B(x2,b)两点，则AB的中点为M(所示.x1x2xx,b)，而往往x012.如下图22极值点没有偏移此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！【问题特征】【处理策略】一、不含参数的问题.1例1.（2010天津理）已知函数f(x)xex(xR)，如果x1x2，且f(x1)f(x2)，证明：x1x22.【解析】法一：f(x)(1x)ex，易得f(x)在(,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，x时，f(x)，f(0)0，x时，f(x)0，函1(数f(x)在x1处取得极大值f(1)，且f)1,如图所示.e由f(x1)f(x2),x1x2，不妨设x1x2，则必有0x11x2，构造函数F(x)f(1x)f(1x),x(0,1]，则F(x)f(1x)f(1x)2x(e1)0，所以F(x)在x(0,1]上单调递增，x1xeF(x)F(0)0，也即f(1x)f(1x)对x(0,1]恒成立.由0x11x2，则1x1(0,1]，所以f(1(1x1))f(2x(1xxx)f(2x1)f(x2)，1)f(11))f(1)f(2，即又因为2x1,x2(1,)，且f(x)在(1,)上单调递减，所以2x1x2，即证x1x22.法二：欲证x1x22，即证x22x1，由法一知0x11x2，故2x1,x2(1,)，又因为f(x)在(1,)上单调递减，故只需证f(x2)f(2x1)，又因为f(x1)f(x2)，故也即证f(x1)f(2x1)，构造函数H(x)f(x)f(2x),x(0,1)，则等价于证明H(x)0对x(0,1)恒成立.由H(x)f(x)f(2x)1x2x2(1e)0，则H(x)在x(0,1)上单调递增，所以xeH(x)H(1)0，即已证明H(x)0对x(0,1)恒成立，故原不等式x1x22亦成立.法三：由f(x1)f(x2)，得x1ex1x2ex2，化简得ex2x1x2…，x1不妨设x2x1，由法一知，ox11x2.令tx2x1，则t0,x2tx1，代入式，2得ett2ttx1t，故要证：x1x22，，反解出x1t，则x1x22x1tte1e1x1即证：2tttt2e10，又因为，等价于证明：2t(t2)(e1)0…，te1构造函数G(t)2t(t2)(et1),(t0)，则G(t)(t1)et1,G(t)tet0，故G(t)在t(0,)上单调递增，G(t)G(0)0，从而G(t)也在t(0,)上单调递增，G(t)G(0)0，即证式成立，也即原不等式x1x22成立.法四：由法三中式，两边同时取以e为底的对数，得x2x1lnx2lnx2lnx1，也即x1x21lnx2lnx1x2x1x2x1xlnx2lnx1lnln2，1，从而x1x2(x1x2)x2x1x2x1x1x21x1x2x1x1令tt1x2lnt2…，(t1)，则欲证：x1x22，等价于证明：t1x1(t1)lnt2t212tlnt(1)lnt,(t1)，则M(t)构造M(t)，2t1t1t(t1)2t2t2(ln又令(t)t12tlnt,(t1)，则()1t)2(1tln)t，由于t1lnt对t(1,)恒成立，故(t)0，(t)在t(1,)上单调递增，所以(t)(1)0，从而M(t)0，故M(t)在t(1,)上单调递增，由洛比塔法则知：(t1)lnt((t1)lnt)t1limM(t)limlimlim(lnt)2，即证M(t)2，即证x1x1x1x1t1(t1)t式成立，也即原不等式x1x22成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.二、含参数的问题.例2.已知函数f(x)xaex有两个不同的零点x1,x2，求证：x1x22.【解析】思路1：函数f(x)的两个零点，等价...