第24章解直角三角形24.2解直角三角形的性质学习目标：1.掌握直角三角形的性质定理.2.利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明（重、难点）.自主学习一、知识链接1.回顾一下我们已经知道的直角三角形的性质有哪些？2.直角三角形的边与边，角与角之间有什么关系？合作探究一、探究过程探究点1：直角三角形斜边上的中线的性质活动如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.问题Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？猜想直角三角形斜边上的中线等于斜边的________.证一证如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.证明：延长BO至D,使OD=BO,连接AD、DC. AO=OC,BO=OD，∴四边形ABCD是____________. ∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是________，第1页共8页∴AC_______BD，∴BO=_____BD=_____AC.【要点归纳】直角三角形的性质：直角三角形斜边上的_______等于斜边的________.【典例精析】例1如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；(2)求证：EF垂直平分AD.方法总结:当已知条件中含有线段的中点、直角三角形的有关内容时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．【针对训练】1.如图，在△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm,则AC=_____cm;(2)若BC=5cm,AB=5cm,则AC=_____cm,BD=_____cm.探究点2：含30°角的直角三角形的性质拼一拼：如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？填一填：∠A=∠D=_______°∠BAE=__________°;AB=DE△ABE是__________三角形2BC=BE=________.第2页共8页DFEABCA（D）BC（F）E证一证：已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB.方法一：倍长法【提示：延长BC至D，使CD=BC，连接AD】证明：方法二：截长法【提示：在BA上截取BD=BC，连接EC】证明：【要点归纳】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的_____.方法总结:在证明线段之间的和差倍分关系时，倍长法与截长法是常用的两种作辅助线的方法.【典例精析】例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是()A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm例2题图例3题图注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．例3如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于()A．3B．2C.1.5D．1方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．例4如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．第3页共8页ABC方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．【针对训练】2.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，则AB的长是()A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h＝____m.二、课堂小结内容直角三角形斜边中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的______.含30°角的直角三角形的性质应用的前提在直角三角形中，结论是30°角所对的直角边是斜边的______，而不是任意一直角边是斜边的一半．当堂检测1.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为()A.13B.6C.6.5D.不能确定2.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为()A．6米B．9米C．12米D．15米第2题图第3题图3.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=.第4...
