第八节函数与方程1.函数零点(1)定义:对于函数y=f(x)(x∈D),把使_______的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)函数零点与方程根的关系:方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与____有交点⇔函数y=f(x)有_____.(3)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是_________的一条曲线,并且有_____________,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在x0∈(a,b),使得_______.f(x)=0x轴零点连续不断f(a)·f(b)<0f(x0)=02.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点_____________(x1,0)无交点零点x1,x2x1无(x1,0),(x2,0)3.二分法(1)二分法的定义.对于在区间[a,b]上连续不断且_____________的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_________,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)用二分法求函数零点近似值的步骤.第一步:确定区间[a,b],验证_____________,给定精确度ε.第二步:求区间(a,b)的中点c.f(a)·f(b)<0一分为二f(a)·f(b)<0第三步:计算f(c),①若f(c)=0,则c就是函数的零点;②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).第四步:判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b),否则重复第二、三、四步.判断下面结论是否正确(“√”“请在括号中打或×”).(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.()(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.()(4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.()【解析】(1)错误.函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标.(2)错误.函数f(x)=x2-x,在(-1,2)上有两个零点,但f(-1)·f(2)>0.(3)正确.当b2-4ac<0时,二次函数图象与x轴无交点,从而二次函数没有零点.(4)错误.当函数零点左右两侧函数值同号时,无法使用二分法求零点的近似值.答案:(1)×(2)×(3)√(4)×1.如图所示的函数图象与x轴均有交点,但不能用二分法求交点横坐标的是()【解析】选A.二分法适用于函数图象在[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数,观察图象知选A.2.用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的近似零点,验证f(2)·f(4)<0,给定精确度ε=0.01,取区间(2,4)的中点x1==3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0所在的区间为()(A)(2,4)(B)(3,4)(C)(2,3)(D)(2.5,3)【解析】选C.由零点存在性定理知x0∈(2,3).2423.在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为()(A)(-，0)(B)(0，)(C)(，)(D)(，)【解析】选C.显然f(x)=ex+4x-3的图象连续不断，又f()=-1＞0，f()=-2＜0.∴由零点存在性定理知，f(x)在(，)内存在零点.14141412123412e144e1412144.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2，那么函数g(x)=bx2-ax(b≠0)的零点是()(A)0，2(B)0，(C)0，-(D)2，-【解析】选C.由题意知2a+b=0，即b=-2a，令g(x)=bx2-ax=0得x=0或x=，故选C.121212a1b2考向1函数零点的求解与判断【典例1】(1)(2012·天津高考)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)(2013·湛江模拟)设函数y=x3与y=()x-2的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是.12【思路点拨】(1)根据零点存在性定理证明有零点,根据函数的单调性判断零点的个数.(2)画出两个函数的图象寻找零点所在区间.【规范解答】(1)选B.因为f'(x)=2xln2+3x2>0,x∈(0,1),所以函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)上单调递增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以有1个零点.(2)设f(x)=x3-()x-2,则x0是函数f(x)的零点,在同一坐标系下画出函数y=x3与y=()x-2的图象如图所示. f(1)=1-()-1=-1<0,f(2)=8-()0=7>0,∴f(1)f(2)<0,∴x0∈(1,2).答案:(1,2)12121212【互动探究】把本例题(2)“改为方程log3x+x=3的解为x0,若x0∈(n,n+1),n∈N,”试判断其解所在的区间.【解析】构造函数,转化为求函数的零点所在的区间.令f(x)=log3x+x-3,则f(2)=log32+2-3=<0,f(3)=log33+3-3=1>0,又因为函数f(x)在(0,+∞)上是连续且单调递增的,所以方程log3x+x=3的解所在的区间为(2,3).32log3【拓展提升】确定函数f(x)在给...
