等比数列及其前n项和课件VIP免费

(1)等比数列的定义如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的比等于________非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：anan－1＝q(n≥2)，q为常数．(2)等比中项如果________成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒_________.21．等比数列的有关概念同一个公比a，G，bG2＝ab2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝__________；若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝_________.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝__________＝a1－anq1－q.a1qn－1amqn－ma11－qn1－q(3)等比数列{an}的单调性:①满足时，{an}是_____数列；②满足时，{an}是_____数列；③当时，{an}为___数列；④当q<0时，{an}为摆动数列.11a0,a0,q10q1或11a0,a0,0q1q1或1a0,q1递增递减常(1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am.an=ap·aq=ak2;(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列.(3)当q≠－1，或（q＝－1且n为奇数）时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列.(4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．3．等比数列及前n项和的性质(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(3)若三个数成等比数列，那么这三个数可以设为aq，a，aq.()1．对等比数列概念的理解(6)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．()(7)如果{an}为等比数列,bn=an-1+an,则数列{bn}也是等比数列.()(8)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．()(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an1－a.()(5)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.()2．通项公式与前n项和的关系3．等比数列性质的活用二个防范一个区别一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误，如(4)．“等差数列”与“等比数列”等差数列的首项和公差可以为零，且等差中项唯一；而等比数列首项和公比均不为零，等比中项可以有两个值．如(1)的错因是“常数”，应为“同一非零常数”；(2)中，若b2＝ac，则不能推出a，b，c成等比数列，因为a，b，c为0时，不成立．二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制，如(6)中当an＋1an＝q＜0时，lnan＋1－lnan＝lnq无意义；而(7)中，当q＝－1时，S4＝0，所以S4，S8－S4，S12－S8不能构成等比数列.考点一等比数列的基本运算(高频考点)考点二等比数列的判定与证明考点三等比数列的性质(1)(2015·江苏扬州中学期中测试)设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝4，Sk＝63，则k＝________．(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．[解析](1)设等比数列{an}的公比为q，由已知a1＝1，a3＝4，得q2＝a3a1＝4.又{an}的各项均为正数，∴q＝2.而Sk＝1－2k1－2＝63，∴2k－1＝63，解得k＝6.62n1.等比数列的基本运算(2)设数列{an}的首项为a1，公比为q， a25＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴a21·q8＝a1·q9，①2（1＋q2）＝5q，②由①得a1＝q，由②知q＝2或q＝12，又数列{an}为递增数列，∴a1＝q＝2，从而an＝2n.(3)(2014·高考重庆卷节选)已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.解：因为{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n（a1＋an）2＝n（1＋2n－1）2＝n2.1.等比数列的基本运算所以a4＝7，S4＝16.因为q2－(a4＋1)q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0，所以(q－4)2＝0，从而q＝4.又因为b1＝2，{bn...