2013年高考数学总复习第七章第7课时抛物线课时闯关（含解析）新人教版一、选择题1．(2011·高考陕西卷)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝－4xC．y2＝8xD．y2＝4x解析：选B.因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.所以选B.2．抛物线y＝ax2的准线方程是y－2＝0，则a的值是()A.B．－C．8D．－8解析：选B.将抛物线的方程化为标准形式x2＝y，其准线方程是y＝－＝2，得a＝－.故选B.3．(2012·济南质检)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并且满足OA⊥OB，则y1y2等于()A．－4p2B．－3p2C．－2p2D．－p2解析：选A. OA⊥OB，∴OA·OB＝0.∴x1x2＋y1y2＝0.① A、B都在抛物线上，∴∴代入①得·＋y1y2＝0，解得y1y2＝－4p2.4．(2010·高考湖南卷)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．12解析：选B.如图所示，抛物线的焦点为F(2,0)，准线方程为x＝－2，由抛物线的定义知：|PF|＝|PE|＝4＋2＝6.5．(2010·高考山东卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2解析：选B. y2＝2px的焦点坐标为(，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.二、填空题6．(2010·高考重庆卷)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.解析：设A(x0，y0)，由抛物线定义知x0＋1＝2，∴x0＝1，则直线AB⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2.答案：27．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是________米．解析：设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)，解得2p＝8，故方程为x2＝－8y，水面上升米，则y＝－，代入方程，得x2＝－8·(－)＝12，x＝±2.故水面宽4米．1答案：48．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上②焦点在x轴上③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6④抛物线的通径的长为5⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)能满足此抛物线方程y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件的序号)．解析：在①②两个条件中，应选择②，则由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)；对于③，由焦半径公式r＝1＋＝6，∴p＝10，此时y2＝20x，不符合条件；对于④，2p＝5，此时y2＝5x，不符合题意；对于⑤，设焦点(，0)，则由题意，满足·＝－1.解得p＝5，此时y2＝10x，所以②⑤能使抛物线方程为y2＝10x.答案：②⑤三、解答题9．(2011·高考福建卷)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．解：(1)由得x2－4x－4b＝0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.将其代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2,1)．因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.10．已知直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，OD⊥AB于点D，点D的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．解：由题意得kOD＝， AB⊥OD，∴kAB＝－2，又直线AB过点D(2,1)，∴直线AB的方程为y＝－2x＋5，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 以AB为直径的圆过点O，∴OA·OB＝0，即x1x2＋y1y2＝0，由得4x2－(2p＋20)x＋25＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝(－2x1＋5)(－2x2＋5)＝4x1x2－10(x1＋x2)＋25＝25－5p－50＋25＝－5p，∴＋(－5p)＝0，∴p＝，∴抛物线方程为y2＝x.11．(探究选做)设抛物线过定点A(2,0)，且以直线x＝－2为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(2)已知点B(0，－5)，轨迹C上是否存在满足MB·NB＝0...
