课时提升练(十四)导数在研究函数中的应用一、选择题1．如图2112是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是()图2112A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在(1,3)上f(x)是减函数C．在(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝4时，f(x)取极大值【解析】由题图知，当x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(4,5)上f(x)是增函数，C正确，其他选项均不对．【答案】C2．设函数f′(x)＝x2＋3x－4，则y＝f(x＋1)的单调减区间为()A．(－4,1)B．(－5,0)C.D.【解析】由f′(x)＝x2＋3x－4知，f(x)在(－4,1)上单调递减，故f(x＋1)的单调减区间为(－5,0)．【答案】B3．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是()【解析】因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)·ex＝ex[f′(x)＋f(x)]，且x＝－1是函数f(x)ex的一个极值点，所以f′(－1)＋f(－1)＝0.在选项D中，f(－1)>0，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.【答案】D4．对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)f′(x)≥0，则必有()A．f(x)≥f(a)B．f(x)≤f(a)C．f(x)＞f(a)D．f(x)＜f(a)【解析】由(x－a)f′(x)≥0知，当x＞a时，f′(x)≥0；当x＜a时，f′(x)≤0.∴当x＝a时，函数f(x)取得最小值，则f(x)≥f(a)．【答案】A5．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a的取值范围是()A．a≤2B．5≤a≤7C．4≤a≤6D．a≤5或a≥7【解析】因为f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1，所以f′(x)＝x2－ax＋a－1，1由题意知当1
0，∴f′(x)＝3(x＋)(x－)，故有0<<1，∴00的充要条件是00，所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．【答案】(－∞，0)和(2，＋∞)三、解答题10．(2014·安徽高考)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．【解】(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝，x1x2时，f′(x)<0；当x10.故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增．(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0.①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．②当0
