课时提升练(四十七)直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．过点的直线l与抛物线y＝－x2交于A，B两点，O为坐标原点，则OA·OB的值为()A．－B．－C．－4D．无法确定【解析】由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设其方程为y＝kx－.由得2x2＋2kx－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝(k2＋1)x1x2－k(x1＋x2)＋＝－(k2＋1)－k·(－k)＋＝－.故选B.【答案】B2．(2014·豫西五校联考)已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是()A．1B.C.D.【解析】由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则＝3.所以b2＝3，即b＝.【答案】D3．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是()A.B．(－，)C.D．[－，]【解析】由题意知，焦点为F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.【答案】C4．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是()A．3x＋4y－13＝0B．4x＋3y－13＝0C．3x－4y＋5＝0D．3x＋4y＋5＝0【解析】设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故＋＝1，＋＝1，两式相减得＋＝0.又 P是A，B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，∴kAB＝＝－.1∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)．即3x＋4y－13＝0.【答案】A5．(2014·湖北高考)设a，b是关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为()A．0B．1C．2D．3【解析】由根与系数的关系，得a＋b＝－tanθ，ab＝0，则a，b中必有一个为0，另一个为－tanθ.不妨设A(0,0)，B(－tanθ，tan2θ)，则直线AB的方程为y＝－xtanθ.根据双曲线的标准方程，得双曲线的渐近线方程为y＝±xtanθ，显然直线AB是双曲线的一条渐近线，所以直线与双曲线没有公共点．【答案】A6．(2014·四川高考)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A．2B．3C.D.【解析】设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， OA·OB＝2，∴x1x2＋y1y2＝2.又y＝x1，y＝x2，∴y1y2＝－2.联立得y2－ny－m＝0，∴y1y2＝－m＝－2，∴m＝2，即点M(2,0)．又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝|OM||y1|＋|OM||y2|＝y1－y2，S△AFO＝|OF|·|y1|＝y1，∴S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋y1＝y1＋≥2＝3，当且仅当y1＝时，等号成立．【答案】B二、填空题7．(2013·江西高考)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.【解析】由于x2＝2py(p>0)的准线为y＝－，由解得准线与双曲线x2－y2＝3的交点为A，B，所以AB＝2.由△ABF为等边三角形，得AB＝p，解得p＝6.【答案】628．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线y＝k(x－2)与此抛物线相交于P，Q两点，则＋＝________.【解析】设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知，|PF|＝x1＋2，|QF|＝x2＋2，则＋＝＋＝，联立直线与抛物线方程消去y得，k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，可知x1x2＝4，故＋＝＝＝.【答案】9．设斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a＞b＞0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．【解析】设椭圆的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，两个交点分别为M，N，由题意知M，N，∴kMN＝，又直线的斜率为，∴＝，即2b2＝ac，∴(a2－c2)＝ac，∴e2＋e－＝0，解得e＝或－，又0＜e＜1，∴e＝.【答案】三、解答题10．(2014·陕西高考)图884已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．【解】(1)由题设知解得∴椭圆的方程为＋＝1...
