课时提升练(五)函数的单调性与最值一、选择题1．(2014·湖南高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是()A．f(x)＝B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x【解析】A中f(x)＝是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A满足题意．B中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C中f(x)＝x3是奇函数．D中f(x)＝2－x是非奇非偶函数．故B，C，D都不满足题意．【答案】A2．下列函数中，满足x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)的是()A．f(x)＝B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)【解析】由题意可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数．结合四个选项可知，A正确．【答案】A3．(2014·福建高考)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)【解析】函数f(x)＝的图象如图所示，由图象知只有D正确．【答案】D4．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A．a>－B．a≥－C．－≤a<0D．－≤a≤0【解析】当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.综合上述得－≤a≤0.【答案】D5．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)最大值为()A．4B．5C．6D．71【解析】如图所示，在同一坐标系中作出y＝x＋2，y＝2x，y＝10－x(x≥0)的图象．根据f(x)定义知，f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的图象(如图实线部分)．∴f(x)＝令x＋2＝10－x，得x＝4.当x＝4时，f(x)取最大值f(4)＝6.【答案】C6．(2015·海滨模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0(其中f′(x)是f(x)的导函数)，若a＝30.3·f(30.3)，b＝logπ3·f(logπ3)，c＝log3·f，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>cB．c>b>aC．c>a>bD．a>c>b【解析】因为当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y＝xf(x)在(－∞，0)上为减函数，又因为f(x)为奇函数，所以y＝xf(x)为偶函数，所以y＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数，因为>30.3>logπ3>0，所以c>a>b.【答案】C二、填空题7．已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)，B(－3,2)在其图象上，则不等式－2
0，a≠1，函数f(x)＝若函数f(x)在[0,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．【解析】当03时，函数f(x)在[0,2]上最大值是a，最小值是1，则a－1＝，得a＝.【答案】或9．设x1，x2为y＝f(x)在定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0；③>0；④<0.其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________．(填序号)【解析】依据增函数的定义可知，对于①③，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推出函数y＝f(x)为增函数．【答案】①③2三、解答题10．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A＝{x|f(x)＝x}．(1)若A＝{1,2}，且f(0)＝2，求M和m的值；(2)若A＝{1}，且a≥1，记g(a)＝M＋m，求g(a)的最小值．【解】(1)由f(0)＝2可知c＝2，又A＝{1,2}，故1,2是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的两实根．∴解得a＝1，b＝－2，∴f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－2,2]．当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝1，即m＝1，当x＝－2时，f(x)max＝f(－2)＝10，即M＝10.(2)由题意知，方程ax2＋(b－1)x＋c＝0有两相等实根x＝1，∴即∴f(x)＝ax2＋(1－2a)x＋a，x∈[－2,2]，其对称轴方程为x＝＝1－.又a≥1，故1－∈，∴M＝f(－2)＝9a－2，m＝f＝1－，g(a)＝M＋m＝9a－－1.又g(a)在区间[1，＋∞)上为单调递...
