课时提升练(二十三)平面向量的基本概念及线性运算一、选择题1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量【解析】a与b不相等，可能长度相等，方向不同，故A错，D错；a与b不相等，可能方向相同或相反，长度不等，故B错；如果a与b都是零向量，那么它们必相等，C正确．【答案】C2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a⊥b【解析】由＋＝0可知a与b必共线且反向，结合四个选项可知A正确．【答案】A图4123．如图412所示，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B.BEC.ADD.CF【解析】BA＋CD＋EF＝DE＋CD＋EF＝CD＋DE＋EF＝CF.【答案】D4．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()A．1B.2C．3D．4【解析】①错，两向量共线要看方向而不是起点或终点；②正确，向量不能比较大小，但它们的模是实数，能比较大小；③错，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0；④错，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时a与b可以是任意向量，不一定共线．【答案】C5．若a＋c与b都是非零向量，则“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若a＋b＋c＝0，则b＝－(a＋c)，∴b∥(a＋c)；若b∥(a＋c)，则b＝λ(a＋c)，当λ≠－1时，a＋b＋c≠0，因此“a＋b＋c＝0”是1“b∥(a＋c)”的充分不必要条件．【答案】A6．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF＝()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b【解析】如图，AF＝AC＋CF＝a＋CD＝a＋(b－a)＝a＋b，故选D.【答案】D7．若O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【解析】 |OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，即|OB－OC|＝|OB－OA＋OC－OA|，∴|CB|＝|AB＋AC|，又CB＝AB－AC，∴|AB－AC|＝|AC＋AB|，∴AB·AC＝0，即AC⊥AB，故选B.【答案】B8．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于()A．aB．bC．cD．0【解析】由题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na，又a与c不共线，∴m＝－1，n＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.【答案】D9．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝()A．2B．3C．4D．5【解析】由MA＋MB＋MC＝0易得M是△ABC的重心，且重心M分中线AE的比为AM∶ME＝2∶1，∴AB＋AC＝2AE＝mAM＝·AE，∴＝2.∴m＝3.【答案】B10．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线AD交边BC于D，已知AB＝3，且AD＝AC＋λAB(λ∈R)，则AD的长为()A．1B.C．2D．3【解析】 AD＝AC＋λAB，且D、B、C三点共线，所以λ＋＝1，λ＝，因为AD是∠A的平分线，由向量加法的几何意义知＝＝2，令AE＝AC，AF＝AB，则四边形AEDF为菱形，所以AD＝2×|AF|×cos＝2.【答案】C11．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP＝OA＋2λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心【解析】作∠BAC的平分线AD. OP＝OA＋λ，∴AP＝λ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，∴AP＝·AD，∴AP∥AD.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心．【答案】B12．(2012·浙江高考)设a，b是两个非零向量()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|【解析】由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即a2＋2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，∴a·b＝－|a||b|. a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝－1，∴〈a，b〉＝π，此时a与b反向共线，因此A错误．当a⊥b时，a与b不反向也不共线，因此B错误．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ＝－...
