课时提升练(十三)导数的概念及其运算一、选择题1．下列函数求导运算正确的个数为()①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；④′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.A．1B．2C．3D．4【解析】①(3x)′＝3xln3；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；④′＝－＝－；⑤(x·ex)′＝ex＋x·ex＝ex(x＋1)．【答案】B2．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)【解析】f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．【答案】C3．(2013·浙江高考)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图2101所示，则该函数的图象是()图2101【解析】从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确．【答案】B4．已知曲线f(x)＝ax2－blnx在点P(1,1)处的切线与直线x－y＋1＝0垂直，则f′(3)＝()A．－5B．4C．5D．－4【解析】由已知可得f(1)＝1，∴a×12－bln1＝1，∴a＝1.∴f(x)＝x2－blnx，故f′(x)＝2x－，则曲线在点P处切线的斜率k＝f′(1)＝2－b，由于切线与直线x－y＋1＝0垂直，故(2－b)×1＝－1，∴b＝3，则f′(x)＝2x－，∴f′(3)＝5.【答案】C5．若曲线y＝x2＋alnx(a>0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时1该切点的坐标为()A．(1,1)B．(2,3)C．(3,1)D．(1,4)【解析】y＝x2＋alnx的定义域为(0，＋∞)，由导数的几何意义知y′＝2x＋≥2＝4，则a＝2，当且仅当x＝1时等号成立，代入曲线方程得y＝1，∴切点坐标为(1,1)．【答案】A6．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝()A．64B．32C．16D．8【解析】 y′＝－x－(x>0)，∴曲线y＝x－在点(a，a－)处切线l的斜率k＝y′|x＝a＝－a－，切线方程为：y－a－＝－a－(x－a)，可以求得切线与x轴，y轴截距分别为3a，a－，所以围成三角形面积为：S＝×3a×a－＝a＝18，∴a＝64.【答案】A二、填空题7．(文)(2014·广东高考)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．【解析】因为y′|x＝0＝－5e0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.【答案】5x＋y＋2＝08．已知a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导函数f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程是________．【解析】 f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2是偶函数，∴a＝0，∴f(x)＝x3－2x，f′(x)＝3x2－2，∴f′(0)＝－2，f(0)＝0，∴切线方程为y＝－2x.【答案】y＝－2x9．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都填上)①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.【解析】在定义域内，由f″(x)＝－sinx－cosx＜0，得①是凸函数；由f″(x)＝－＜0，得②是凸函数；由f″(x)＝－6x＜0，得③是凸函数；由f″(x)＝2ex＋xex＞0，得④不是凸函数．【答案】①②③三、解答题10．(2013·北京高考)已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．【解】由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝x(2＋cosx)．2(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘1↗所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1
