第一周周清正弦定理和余弦定理核心知识1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cosA＝，cosB＝，cosC＝.自我检测1.在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A，C和边c.解由正弦定理得＝，＝，∴sinA＝.∵a＞b，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝.2.在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sinA＝，则a等于多少？解析由正弦定理得：a＝＝＝.3.在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于多少？解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得：＝，即＝.∴c＝.4.在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于多少？解析由余弦定理得：cosA＝＝＝，∵0＜A＜π，∴A＝60°.5．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大内角为多少？解析∵a2＋b2－c2＝－ab，∴cosC＝＝－，故C＝150°为三角形的最大内角．6.在△ABC中，若＝＝；则△ABC是什么三角形？解析由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆半径)．∴＝＝.即tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C，为等边三角形。7.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝，b＝2.当A＝30°时，求a的值；解(1)因为cosB＝，所以sinB＝.由正弦定理＝，可得＝，所以a＝.
