三角函数的图象与性质（一）一、基本知识：了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质．二、例题分析：例1（1）求函数y=的定义域。(2)若α、β为锐角，sinα＜cosβ，则α、β满足（C）A．α＞βB．α＜βC．α+β＜D．α+β＞分析（1）函数的定义域为(*)的解集，由于y=tanx的最小正周期为π，y=sinx的最小正周期为2π，所以原函数的周期为2π，应结合三角函数y=tanx和y=sinx的图象先求出(－，)上满足（*）的x的范围，再据周期性易得所求定义域为{x｜2kπ－＜x＜2kπ+，或2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z．分析（2）sinα、cosβ不同名，故将不同名函数转化成同名函数，cosβ转化成sin(－β)，运用y=sinx在［0，］的单调性，便知答案为C．例2判断下列函数的奇偶性：(1)y=；(2)y=分析讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f(－x)是否等于f(x)或－f(x)．解（1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos2，所以分母为偶函数，所以原函数是奇函数．（2）定义域不关于原点对称，故不是奇函数，也不是偶函数．例3求下列函数的最小正周期：用心爱心专心（1）y=sin(2x－)sin(2x+)；(2)y=分析对形如y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进行化简．解（1）y=sin(2x－)sin(2x+－)=sin(4x－)，所以最小正周期为=．（2）y===∴是小正周期为．例4已知函数f(x)=5sinxcosx－5cos2x+(x∈R)．(1)求f(x)的单调增区间；（2）求f(x)图象的对称轴、对称中心．解f(x)=sin2x－5×＋=5sin(2x－)．（1）由2kπ－≤2x－≤2kπ+，得［kπ－，kπ+］（k∈Z）为f(x)的单调增区间．（2）令2x－=kπ+，得x=π+（k∈Z），则x=π+（k∈Z）为函数y=f(x)图象的对称轴所在直线的方程，令2x－=kπ，得x=π+（k∈Z），∴y=f(x)图象的对称中心为点（π+，0）（k∈Z）．三、训练反馈：1．函数y=lg(2cosx－1)的定义域为（C）A．{x｜－＜x＜B．{x｜－＜x＜C．{x｜2kπ－＜x＜2kπ+，k∈ZD．{x｜2kπ－＜x＜2kπ+，k∈Z2．下列各区间，使函数y=sin(x+π)的单调递增的区间是（A）A．[，π]B．［0，］C．［－π，0］D．[，]用心爱心专心3．下列函数中，周期为的偶函数是（B）A．y=sin4xB．y=cos22x－sin22xC．y=tan2xD．y=cos2x4．如果α、β∈（，π），且tanα＜cotβ，那么必有（C）A．α＜βB．β＜αC．α+β＜D．α+β＞5．下列命题中正确的是（D）A．若α、β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβB．函数y=sinxcotx的单调递增区间是（2kπ－，2kπ+），k∈ZC．函数y=的最小正周期是2πD．函数y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的图象关于y轴对称，则φ=＋，k∈Z6．若+2cosx＜0，则x的范围是．2kπ＋＜x＜2kπ＋，k∈Z7．判断下列函数的奇偶性（1）y=xsinx+x2cos2x是函数；（2）y=｜sin2x｜－xcotx是函数；（3）y=sin(+3x)是函数．（1）偶（2）偶（3）偶8．函数f(x)=cos(3x+φ)是奇函数，则φ的值为．kπ＋，k∈Z9．y=sin6x+cos6x的周期为．10．设f(x)=sin(x+)(k≠0)．(1)写出f(x)的最大值M，最小值m，以及最小正周期T；（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个M与m．用心爱心专心（1）M=1，m=－1，T==（k≠0）．（2）k=32．用心爱心专心
