高一数学“每周一练”系列试题（35）1．在▱ABCD中，AB�＝a，AD�＝b，AN�＝3NC�，M为BC的中点，求MN�（用a、b表示）．2．已知a＝（3,2），b＝（－1,2），c＝（4,1）．（1）求满足a＝xb＋yc的实数x，y的值；（2）若（a＋kc）∥（2b－a），求实数k的值．3．△ABC的三个内角，A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若p＝（a＋c，b）与q＝（b－a，c－a）是共线向量，求角C.4.在▱ABCD中，A（1,1），AB�＝（6,0），点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.（1）若AD�＝（3,5），求点C的坐标；用心爱心专心1（2）当|AB�|＝|AD�|时，求点P的轨迹.5.已知O为坐标原点，A（0,2），B（4,6），OM�＝t1OA�＋t2AB�.（1）求点M在第二或第三象限的充要条件；（2）求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；（3）若t1＝a2，求当OM�⊥AB�且△ABM的面积为12时a的值.参考答案1．解：由AN�＝3NC�得4AN�＝3AC�＝3（a＋b），AM�＝a＋b，所以MN�＝（a＋b）－（a＋用心爱心专心2b）＝－a＋b.2．解：（1）∵a＝xb＋yc，∴（3,2）＝x（－1,2）＋y（4,1）＝（－x＋4y,2x＋y）．∴解得（2）∵（a＋kc）∥（2b－a），且a＋kc＝（3,2）＋k（4,1）＝（3＋4k,2＋k），2b－a＝2（－1,2）－（3,2）＝（－5,2），∴2（3＋4k）－（－5）（2＋k）＝0，解得k＝－.3．解：∵p∥q，∴（a＋c）（c－a）－b（b－a）＝0，∴a2＋b2－c2＝ab.∴cosC＝＝，∴C＝60°.4．解：（1）设点C的坐标为（x0，y0），又AC�＝AD�＋AB�＝（3,5）＋（6,0）＝（9,5），即（x0－1，y0－1）＝（9,5），∴x0＝10，y0＝6，即点C（10,6）.（2）设P（x，y），则BP�＝AP�－AB�＝（x－1，y－1）－（6,0）＝（x－7，y－1），AC�＝AM�＋MC�＝AB�＋3MP�＝AB�＋3（AP�－AB�）＝3AP�－AB�＝（3（x－1）,3（y－1））－（6,0）＝（3x－9,3y－3）.|∵AB�|＝|AD�|，∴▱ABCD为菱形，∴BP�⊥AC�，∴（x－7，y－1）·（3x－9,3y－3）＝0，即（x－7）（3x－9）＋（y－1）（3y－3）＝0.∴x2＋y2－10x－2y＋22＝0（y≠1）.即（x－5）2＋（y－1）2＝4（y≠1）.故点P的轨迹是以（5,1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线y＝1的两个交点.5．解：（1）OM�＝t1OA�＋t2AB�＝t1（0,2）＋t2（4,4）＝（4t2,2t1＋4t2）.当点M在第二或第三象限时，有21240,240.ttt故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.（2）证明：当t1＝1时，由（1）知OM�＝（4t2,4t2＋2）.用心爱心专心3∵AB�＝OB�－OA�＝（4,4），AM�＝OM�－OA�＝（4t2,4t2）＝t2（4,4）＝t2AB�，∴不论t2为何实数，A、B、M三点共线.（3）当t1＝a2时，OM�＝（4t2,4t2＋2a2）.又∵AB�＝（4,4），OM�⊥AB�，4∴t2×4＋（4t2＋2a2）×4＝0，∴t2＝－a2，∴OM�＝（－a2，a2）.又∵|AB�|＝4，点M到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝|a2－1|.∵S△ABM＝12，∴|AB�|·d＝×4×|a2－1|＝12，解得a＝±2，故所求a的值为±2.用心爱心专心4
