高一数学实数与向量的积（第二课时）【课前复习】1．会做了，学习新课才能有保障．（1）下列各式叙述不正确的是（）A．若a＝λb，则a、b共线（λ∈R）B．b＝3a（a非零向量）则a、b共线C．若m＝3a＋4b，n＝a＋2b，则m∥nD．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c（2）若a＝e1＋2e2－e3，b＝3e1－2e2＋2e3，则a＋b＝_____．2．先看书，再来做一做．（1）设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有（）A．e1、e2一定平行B．e1、e2的模相等C．同一平面内的任一向量a都有a＝λe1＋ue2（λ、u∈R）D．若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a＝λe1＋ue2．（2）已知向量e1、e2，如图5－3－3．求作向量3e1＋2e2．图5－3－3【学习目标】（1）了解平面向量基本定理．（2）会通过定理用两个不共线向量表示另一向量或将一个向量分解为两个向量．（3）能用平面向量基本定理处理简单的几何问题．【基础知识精讲】本课时重点是平面向量基本定理的应用．难点是平面向量基本定理的理解．1．平面向量基本定理若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则该平面内的任一向量a都能表示为a＝λ1e1＋λ2e2．其中数对（λ1，λ2）是唯一的．我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．关于平面向量基本定理还可理解为：①平面向量基本定理说明同一平面内三个向量之间的关系，向量a是e1、e2的线性组合，或者说a可分解为两个向量，一个是与e1共线的λ1e1，一个是与e2共线的λ2e2．特殊地，若a与e1共线，则λ2＝0；若a与e2共线，则λ1＝0；若a＝0，则λ1＝λ2＝0．②a＝λ1e1＋λ2e2中，用心爱心专心115号编辑λ1、λ2是被a、e1、e2唯一确定的数量．③平面向量基本定理也可表述为：若向量e1、e2不共线，则向量a和向量e1、e2共面的充要条件是a＝λ1e1＋λ2e2．所以平面向量基本定理也叫共面向量定理．2．课本的例3实际上就是平面向量基本定理的几何解释，就是说平面上任一向量，都可以根据向量共线条件，将一组基底e1、e2的起点放在一起，再根据平行四边形法则，得到向量λ1e1＋λ2e2．要注意，（3e2）与e2共线，（－2.5e1）与e1共线，它们的方向一个相同（3e2与e2相同），一个相反（－2.5e1与e1相反）．其长度分别是原来的3倍和2.5倍．3．课本例4是根据平面向量基本定理，综合向量的混合运算，用向量来表示几何关系．4．课本例5实际上还得到一个重要结论：＝λ＋u中，λ＋u＝1是A、B、C三点共线的充要条件．课本已证明了，如果A、B、C共线，则λ＋u＝1；反之，若λ＋u＝1，即u＝1－λ，则＝λ＋（1－λ），于是，－＝λ（－），即＝λ，∴A、B、C三点共线．本课时有下列两个问题需要给予重视怎样证明平面向量基本定理中λ、μ的唯一性？通过课本的论述，已经知道平面内任一向量a，可以写成a＝λ1e1＋λ2e2（λ，μ∈R）的形式，这事实上是证明了λ1、λ2的存在性．下面给出唯一性的证明：（用反证法）．假设a＝λ1e1＋λ2e2，又有a＝μ1e1＋μ2e2，且λ1＝μ1，λ2＝μ2不同时成立．不妨设λ1≠μ2，二式相减整理可得（λ1－μ1）e1＝（μ2－λ2）e2，于是e1＝e2，即e1与e2共线，与已知e1与e2不共线矛盾，唯一性得证．平面向量基本定理与共线向量定理是什么关系？平面向量基本定理是基于平面向量共线的充要条件这一定理之上的．事实上，当a与e1或e2共线，即λ1、λ2中有一个为0时，就是在同一直线上的“基本定理”，即共线向量定理．在基本定理的推导过程中，也用到a的两个“分量”分别与e1、e2共线的条件．【学习方法指导】在平面图形中，如何用已知向量表示未知向量？［例1］如图5－3－4，平行四边形ABCD中，点M、N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c、d表示和．用心爱心专心115号编辑图5－3－4分析：要直接用c、d表示和比较困难，利用“正难则反”的原则，可以先用、表示c、d，再来解关于和的方程组．解：设＝a，＝b，则由M、N分别为DC、BC的中点可得：＝b，a．从△ABN和△ADM中可得：①×2－②，得a＝（2d－c）②×2－①，得b＝（2c－d）即＝（2d－c），＝（2c－d）．怎样用向量证明平面几何问题？［例2］用向量证明三角形的三条中线共点．分析：本题考查用向量证明平面几何命题的能力．...
