备战高考数学 纠错笔记系列 专题03 导数及其应用 理（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题03导数及其应用易错点1不能正确识别图象与平均变化率的关系A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量与时间t(天)的关系如图所示，则一定有A．两机关单位节能效果一样好B．A机关单位比B机关单位节能效果好C．A机关单位的用电量在上的平均变化率比B机关单位的用电量在上的平均变化率大D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大【错解】选C.因为在(0，t0)上，的图象比的图象陡峭，所以在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大．【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．【试题解析】由题可知，A机关单位所对应的图象比较陡峭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好．故选B.【参考答案】B1．平均变化率函数从到的平均变化率为，若，，则平均变化率可表示为.2．瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数来描述，那么，物体在时刻的瞬时速度v就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，无限趋近的常数.1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？【答案】见解析.【解析】山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝，山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝，∴hBC>hAB，∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多．易错点2求切线时混淆“某点处”和“过某点”若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为A．B．C．或D．或【错解】设，由定义得f′(2)=12，∴所求切线方程为，即.【错因分析】曲线过点P的切线与在点P处的切线不同．求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．【试题解析】①易知P点在曲线上，当P点为切点时，由上面解法知切线方程为.②当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为. A在曲线上，∴，∴，∴，∴，解得或x0=2(舍去)，∴，k=3，此时切线方程为y+1=3(x+1)，即.故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或.【参考答案】D1．导数的几何意义函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率.2．曲线的切线的求法若已知曲线过点，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解：（1）当点是切点时，切线方程为；（2）当点不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过的切线方程为；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程，可得过点的切线方程．2．已知函数，则A．B．1C．D．【答案】B【解析】，又因为，所以，解得，故选B.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.在求曲线的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线上）的切线方程，前者的切线方程为，其中切点，后者一般先设出切点坐标，再求解.易错点3不能准确把握导数公式和运算法则求下列函数的导数：（1）；（2）.【错解】（1）；（2）.【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x，a是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.【试题解析】（1）；（2）.【参考答案】（1）；（2）.1．导数计算的原则先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．2．导数计算的方法①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或...