北京市海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸和答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸、答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知集合，，则A．B．C．D．2．函数图象的对称轴方程可以为A．B．C．D．3．如图，是的直径，切于点，连接。若，则的大小为A．20°B．40°C．60°D．70°4．函数在定义域内零点的个数为A．0B．1C．2D．35．已知关于的不等式组，所表示的平面区域的面积为4，则的值为A．1B．C．1或D．06．已知是不同的直线，是不同的平面，则下列条件能使成立的是A．B．C．D．7．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则处条件为A．B．D．8．已知动圆经过点并且与直线相切，若直线与圆有公共点，则圆的面积A．有最大值为B．有最小值为C．有最大值为D．有最小值为二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9．在极坐标系中，若点是曲线上的一点，则。10．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如下图），，分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则（填“>”、“<”或“=”）。11．已知向量，。若，则；。12．已知数列满足，则的值为。13．在中，角所对应的边分别为，若，则的最大值为。14．给定集合，映射满足：①任取，若，则；②任取，若，则有，则称映射为的一个“优映射”。例如：用表1表示的映射：就是一个“优映射”。表1表212312342313(1)已知表2表示的映射是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；(2)若映射：是“优映射”，且方程的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是。三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．(本小题满分13分)记等差数列的前项和为，已知，。(I)求数列的通项公式；(II)令，求数列的前项和。16．(本小题满分14分)已知四棱锥，底面为矩形，侧棱底面，其中，为侧棱上的两个三等分点，如图所示。(I)求证：平面；(II)求异面直线与所成角的余弦值；(III)求二面角的八弦值。17．(本小题满分13分)为保持水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立。(I)求4人恰好选择了同一家公司的概率；(II)设选择甲公园的志愿者的人数为，试求的分布列及期望。18．(本小题满分13分)已知函数其中为常数，且。(I)当时，求函数的极值点；(II)若函数在区间内单调递减，求的取值范围。19．(本小题满分13分)已知椭圆抛物线有公共焦点，的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于两点。(I)写出抛物线的标准方程；(II)若，求直线的方程；(III)若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值。20．(本小题满分14分)已知函数的图象在上连续不断，定义：，。其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值。若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”。(I)若，试写出，的表达式；(II)已知函数，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；(III)已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围。海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准2010．5说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案BADCABAD第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．110．11．2；12．4813．14．；84.三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由，可得，………………………2分即，解得，………………………4分∴，故所求等差数列的通项公式为.………………………5分（Ⅱ）依题意，，∴，……………...
