北京市昌平区2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知=b+i（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b等于()A．﹣4B．﹣2C．2D．42．要得到函数f（x）=sin（2x+）的图象，只需将函数g（x）=sin2x的图象()A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度3．如图是两个全等的正三角形，给出下列三个命题：①存在四棱锥，其正视图、侧视图如图；②存在三棱锥，其正视图、侧视图如图；③存在圆锥，其正视图、侧视图如图．其中所有真命题的序号是()A．①②B．②③C．①③D．①②③4．由曲线y=x2，y=x围成的封闭图形的面积为()A．1B．C．D．5．设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．阅读下面程序框图，为使输出的数据为11，则①处应填的数字可以为()1A．4B．5C．6D．77．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是()A．m＜2B．2＜m≤3C．2≤m≤3D．m＞38．如图，直线MN过△ABC的重心G（重心是三角形三条中线的交点），设=，=，且=m，=n（其中m＞0，n＞0），则mn的最小值是()A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．二项式（x+y）6的展开式中，含x4y2的项的系数是__________．10．（几何证明选做题）如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=__________．211．设x∈{﹣1，1}，y∈{﹣2，0，2}，则以（x，y）为坐标的点落在不等式x+2y≥1所表示的平面区域内的概率为__________．12．已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则m=__________，该双曲线的焦点到其渐近线的距离为__________．13．已知函数f（x）=ex（sinx+a）在R上单调递增，则实数a的取值范围是__________．14．已知映射f：P（m，n）→P′（，）（m≥0，n≥0）．设点A（2，6），B（4，4），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M是线段AB的中点时，点M′的坐标是__________；当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为__________．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=ab+c2．（Ⅰ）求tan（C﹣）的值；（Ⅱ）若c=，求S△ABC的最大值．16．在一台车床上生产某种零件，此零件的月产量与零件的市场价格具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：表1：零件某年的每月产量（个/月）月份第一季度第二季度第三季度第四季度123456789101112产量500400625625500500500500500400400625表2：零件市场价格（元/个）零件市场价格810概率0.40.6（Ⅰ）请你根据表1中所给的数据，判断该零件哪个季度的月产量方差最大；（结论不要求证明）（Ⅱ）随机抽取该种零件的一个月的月产量记为X，求X的分布列；（Ⅲ）随机抽取该种零件的一个月的月产量，设Y表示该种零件的月产值，求Y的分布列及期望．17．如图，多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，四边形BDEF是正方形．（Ⅰ）求证：CF∥平面AED；（Ⅱ）求直线AF与平面ECF所成角的正弦值；3（Ⅲ）在线段EC上是否存在点P，使得AP⊥平面CEF，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为A，点M（1，0）为线段OA的中点，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线交椭圆C于不同的两点E，F，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠ENM=∠FNM？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．19．已知函数f（x）=a（x﹣1）﹣2lnx（a≥0）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上无零点，求实数a的最大值．20．已知数列{an}满足a1=4，a2=2，an+2=an+2[1﹣（﹣1）n]，n∈N*，k∈N*．（Ⅰ）求a3，a4，并直接写出an；（Ⅱ）设Sk=a1+a3+…+a2k﹣1，Tk=a2+a4+…+a2k，分别求Sk，...
