北京师大附中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合M={x|x≤a}，N={x|﹣2＜x＜0}，若M∩N=∅，则a的取值范围为（）A．a＞0B．a≥0C．a≤﹣2D．a＜﹣22．（5分）下列函数中，在定义域内是减函数的是（）A．f（x）=﹣B．f（x）=C．f（x）=2﹣xD．f（x）=tanx3．（5分）设点P是函数f（x）=sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则f（x）的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．4．（5分）已知向量=（3，1），=（﹣2，），则下列向量可以与垂直的是（）A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（4，2）D．（﹣4，2）5．（5分）“a＞1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知数列{an}的通项公式，则数列的前n项和Sn的最小值是（）A．S3B．S4C．S5D．S67．（5分）数列{an}中，a1=，an+1=（其中n∈N*），则使得a1+a2+a3+…+an≥72成立的n的最小值为（）A．236B．238C．240D．2428．（5分）已知集合A={a1，a2，…an}（n＞2），令TA={x|x=ai+aj，1≤i＜j≤n}，card（TA）表示集合TA中元素的个数．关于card（TA）有下列四个命题：①card（TA）的最大值为n2；②card（TA）的最大值为n（n﹣1）；③card（TA）的最小值为2n；④card（TA）的最小值为2n﹣3．1其中，正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在△ABC中，若tanA=﹣2，则cos（B+C）=．10．（5分）设a=e0.5，b=logπ2，c=cos2，则a，b，c从大到小的顺序为．11．（5分）已知函数f（x）=x﹣2sinx，则函数f（x）在（0，f（0））处的切线方程为；在（0，π）上的单调递增区间为．12．（5分）若函数f（x）=为奇函数，则满足f（t﹣1）＜f（2t）的实数t的取值范围是．13．（5分）如图，线段AB长度为2，点A，B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，BC=1，O为坐标原点，则的取值范围是．14．（5分）对于函数y=f（x），若在其定义域内存在x0，使得x0f（x0）=1成立，则称函数f（x）具有性质P．（1）下列函数中具有性质P的有．①f（x）=﹣2x+2；②f（x）=sinx（x∈[0，2π]）；③f（x）=x+，（x∈（0，+∞））；④f（x）=ln（x+1）．（2）若函数f（x）=alnx具有性质P，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）设c＞0．命题P：y=logcx是减函数．命题Q：|x﹣1|﹣x+2c＞0对任意x∈R恒成立．若P或Q为真，P且Q为假，试求c的取值范围．16．（13分）如图，已知点A（10，0），直线x=t（0＜t＜10）与函数y=e2x+1的图象交于点P，与x轴交于点H，记△APH的面积为f（t）．（Ⅰ）求函数f（t）的解析式；2（Ⅱ）求函数f（t）的最大值．17．（13分）在△ABC中，已知C=，cos2B=+sin2A．（Ⅰ）求tanB；（Ⅱ）若BC=2，求△ABC的面积．18．（13分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求证：当x＞0时，f（x）＜0；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）求证：（1+）（1+）…（1+）＜e．19．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设点P（x0，y0）为直线l上一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求直线AB的方程，并证明直线AB过定点Q；（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点Q的直线m交抛物线C于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，求l1，l2交点M满足的轨迹方程．20．（14分）已知数列{an}的首项a1=a，其中a∈N*，令集合．（I）若a4是数列{an}中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；（II）求证：{1，2，3}⊆A；（III）当a≤2014时，求集合A中元素个数Card（A）的最大值．北京师大附中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合M={x|x≤...
