星期四(函数与导数)2017年____月____日函数与导数(命题意图：考查函数的单调性及不等式恒成立问题，考查等价转化思想)(本小题满分15分)已知函数f(x)＝(3－a)x－2＋a－2lnx(a∈R).(1)若函数y＝f(x)在区间(1，3)上单调，求a的取值范围；(2)若函数g(x)＝f(x)－x在上无零点，求a的最小值.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3－a－＝.当a≥3时，有f′(x)＜0，即函数f(x)在区间(1，3)上单调递减；当a＜3时，令f′(x)＝0，得x＝，若函数y＝f(x)在区间(1，3)上单调，则≤1或≥3，解得a≤1或≤a＜3；综上，a的取值范围是(－∞，1]∪.(2)因为当x→0时，g(x)→＋∞，所以g(x)＝(2－a)(x－1)－2lnx＜0在区间上恒成立不可能，故要使函数g(x)在上无零点，只要对任意的x∈，g(x)＞0恒成立，即对x∈，a＞2－恒成立，令l(x)＝2－，x∈，则l′(x)＝－＝，再令m(x)＝2lnx＋－2，x∈，则m′(x)＝－＋＝＜0，故m(x)在上为减函数，于是m(x)＞m＝2－2ln2＞0，从而l′(x)＞0，于是l(x)在上为增函数，所以l(x)＜l＝2－4ln2，故要使a＞2－恒成立，只要a∈[2－4ln2，＋∞)，综上，若函数g(x)在上无零点，则a的最小值为2－4ln2.
