星期三(解析几何)2017年____月____日解析几何(命题意图：考查直线与椭圆相交情况下的弦长及三角形面积问题)(本小题满分15分)已知椭圆M：＋＝1(b＞0)上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4＋2.(1)求椭圆M的方程；(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围.解(1)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为4＋2，所以2a＋2c＝4＋2，又a＝2b，所以c＝b，所以b＝1，则a＝2，c＝.所以椭圆M的方程为＋y2＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，且x1＋x2＝，x1x2＝，故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以·＝＝k2，又m≠0，所以k2＝，即k＝±，由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m2＜2且m2≠1.则S△OPQ＝|y1－y2|·|2m|＝|x1－x2|·|m|＝·|m|＝，所以S△OPQ的取值范围为(0，1).
