星期四(函数与导数)2017年____月____日函数与导数(命题意图：考查曲线的切线、最值及数列不等式的证明等.)(本小题满分15分)已知函数f(x)＝ax2＋1，g(x)＝ln(x＋1).(1)当实数a为何值时，函数g(x)在x＝0处的切线与函数f(x)的图象相切；(2)当x∈[0，＋∞)时，不等式f(x)＋g(x)≤x＋1恒成立，求a的取值范围；(3)已知n∈N*，试判断g(n)与g′(0)＋g′(1)＋…＋g′(n－1)的大小，并证明之.解(1)∵g(x)＝ln(x＋1)，∴g′(x)＝，g′(0)＝1，故g(x)在x＝0处的切线方程为y＝x.由得ax2－x＋1＝0，∴Δ＝1－4a＝0，∴a＝.(2)当x∈[0，＋∞)时，不等式f(x)＋g(x)≤x＋1恒成立，即ax2＋ln(x＋1)－x≤0恒成立.设h(x)＝ax2＋ln(x＋1)－x(x≥0)，只需h(x)max≤0即可.h′(x)＝2ax＋－1＝.①当a＝0时，h′(x)＝，当x＞0时，h′(x)＜0，函数h(x)在[0，＋∞)上单调递减，故h(x)≤h(0)＝0成立.②当a＞0时，由h′(x)＝0，得x＝－1或x＝0.1°－1＜0，即a＞时，在区间(0，＋∞)上，h′(x)＞0，则函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，h(x)在(0，＋∞)上无最大值，此时不满足条件.2°若－1≥0，即0＜a≤时，函数h(x)在上单调递减，在区间上单调递增，同样h(x)在[0，＋∞)上无最大值，不满足条件.③当a＜0时，h′(x)＜0，函数h(x)在[0，＋∞)上单调递减，故h(x)≤h(0)＝0成立，综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0].(3)结论：g(n)＜g′(0)＋g′(1)＋g′(2)＋…＋g′(n－1).证明：当a＝0时，ln(x＋1)≤x(当且仅当x＝0时取等号)，令x＝，∴ln＜，∴ln(n＋1)－lnn＜.故有ln(n＋1)－lnn＜，1lnn－ln(n－1)＜，ln(n－1)－ln(n－2)＜，……ln3－ln2＜，ln2－ln1＜1，所以ln(n＋1)＜1＋＋＋…＋，即g(n)＜g′(0)＋g′(1)＋g′(2)＋…＋g′(n－1).2
