星期六(综合限时练)解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)1.(本小题满分12分)在公比为2的等比数列{an}中，a2与a5的等差中项是9.(1)求a1的值；(2)若函数y＝a1sin(其中0<φ<π)的一部分图象如图所示，M(－1，a1)，N(3，－a1)为图象上的两点，设∠MON＝θ，其中O为坐标原点，0<θ<π，求cos(θ－φ)的值.解(1)由题可知a2＋a5＝18，又a5＝8a2，故a2＝2，∴a1＝.(2) 点M(－1，a1)在函数y＝a1sin的图象上，∴sin＝1，又 0<φ<π，∴φ＝π.连接MN，在△MON中，由余弦定理得cosθ＝＝＝－.又 0<θ<π，∴θ＝π，∴cos(θ－φ)＝cos＝coscos＋sinsin＝.2.(本小题满分12分)甲、乙两所学校高三年级分别有600人，500人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区五校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：分组[70，80)[80，90)[90，100)[100，110)频数34714分组[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]频数17x42乙校：分组[70，80)[80，90)[90，100)[100，110)频数1289分组[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]频数1010y4(1)计算x，y的值；(2)若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异；甲校乙校总计优秀非优秀总计(3)若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，现从已抽取的110人中抽取两人，要求每校抽1人，所抽的两人中有人优秀的条件下，求乙校被抽到的同学不是优秀的概率.参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，临界值表P(K2≥k0)0.100.050.010k02.7063.8416.635解(1)从甲校抽取110×＝60(人)，从乙校抽取110×＝50(人)，故x＝9，y＝6.(2)表格填写如下：甲校乙校总计优秀152035非优秀453075总计6050110K2的观测值k＝≈2.829＞2.706.故有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异.(3)设两班各取一人，有人优秀为事件A，乙班学生不优秀为事件B，根据条件概率，则所求事件的概率P(B|A)＝＝.3.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AB，AD⊥DC，∠DAC＝60°，PA＝AC＝2，AB＝1.(1)求二面角A－PB－C的余弦值；(2)在线段CP上是否存在一点E，使得DE⊥PB，若存在，求线段CE的长度，不存在，说明理由.解(1)如图，以AB，AC，AP分别为x，y，z轴的正半轴方向，建立空间直角坐标系，则P(0，0，2)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，D.易知AC＝(0，2，0)是平面PAB的法向量， PC＝(0，2，－2)，PB＝(1，0，－2)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则∴取z＝1，得n＝(2，1，1).∴cos〈n，AC〉＝＝，则二面角A－PB－C的余弦值为.(2)假设在CP上存在E点，使DE⊥PB，则过E作EF⊥AC于F，由已知得EF∥PA，设EF＝h，则E(0，2－h，h).∴DE＝，PB＝(1，0，－2). DE⊥PB，∴DE·PB＝－2h＝0，h＝，∴CE＝h＝.4.(本小题满分12分)椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点坐标为(，0)，斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为(2，－1).(1)求椭圆C2的方程；(2)设P为椭圆C2上一点，点M，N在椭圆C1上，且OP＝OM＋2ON，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，H(xH，yH)，则∴＝－·＝－·，又l的斜率为1，H的坐标为(2，－1)，∴1＝－·，即a2＝2b2，又a2－b2＝5，∴b2＝5，a2＝10，∴C2的方程为：＋＝1.(2)设P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 OP＝OM＋2ON，∴又x＋2y＝10，∴(x1＋2x2)2＋2(y1＋2y2)2＝10，即x＋2y＋4(x＋2y)＋4x1x2＋8y1y2＝10，又x＋2y＝2，x＋2y＝2，∴10＋4x1x2＋8y1y2＝10，即x1x2＋2y1y2＝0，∴kOMkON＝＝－.即直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为－.5.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.(1)判断f(x)在(0，＋∞)的单调性；(2)若x＞0，证明：(ex－1)ln(x＋1)＞x2.解(1)函数f(x)的定义域是(－1，0)∪(0，＋∞)，对f(x)求导得f′(x)＝，令g(x)＝－ln(x＋1)，又g′(x)＝－＝－＜0(x＞0).故g(x)是(0，＋∞)上的减函数，所以g(x)＜g(0)＝－ln1＝0.所以f′(x)...
