星期五(综合限时练)2017年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)1.(本小题满分14分)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)若a＝2，b＝，求c；(2)若sin－2sin2＝0，求A.解(1)∵a＝bcosC＋csinB，∴sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，∴cosBsinC＝sinCsinB，又sinC≠0，∴tanB＝，∵B∈，∴B＝.∵b2＝a2＋c2－2accosB，∴c2－2c－3＝0，∴c＝3，c＝－1(舍去).(2)∵sin－2sin2＝sin－1＋cos＝sin＋cos－1＝sin－cos－1＝2sin－1.∴由2sin－1＝0，及＜A＜，可得A＝.2.(本小题满分15分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).解(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD.由事件的独立性与互斥性，P(E)＝P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＝×××＋2×＝.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.(2)由题意，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，6.由事件的独立性与互斥性，得P(X＝0)＝×××＝，P(X＝1)＝2×＝＝，P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，1P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，P(X＝4)＝2×＝＝.P(X＝6)＝×××＝＝.可得随机变量X的分布列为X012346P所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.3.(本小题满分15分)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA＝AB＝2，BC＝AD，E是线段AB的中点.(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)试问线段PB上是否存在点F，使二面角C－DE－F的余弦值为？若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由.解(1)因为AD⊥侧面PAB，PE⊂平面PAB，所以AD⊥PE.又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，所以PE⊥AB.因为AD∩AB＝A，所以PE⊥平面ABCD.由DA＝AB＝2，BC＝AD，可得BC＝1.因为△PAB是等边三角形，可求得PE＝.所以VP－ABCD＝SABCD·PE＝×(1＋2)×2×＝.(2)以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E－xyz.则有A(0，1，0)，E(0，0，0)，B(0，－1，0)，C(1，－1，0)，D(2，1，0)，P(0，0，).设F(x0，y0，z0)，PF＝λPB(0＜λ＜1)，则(x0，y0，z0－)＝λ(0，－1，－).所以F(0，－λ，－λ).设n＝(x，y，z)为平面DEF的法向量，ED＝(2，1，0)，EF＝(0，－λ，－λ)，即所以∴n＝.又平面CDE的法向量为m＝(0，0，1).∴|cos〈m，n〉|＝＝，化简得3λ2＋2λ－1＝0，解得λ＝或λ＝－1(舍去).所以存在点F，且PF＝PB.则点F在靠近P的三等分点上.4.(本小题满分15分)设A1(－2，0)，A2(2，0)，P是动点，且直线A1P与A2P的斜率之积等于－.5.(本小题满分15分)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2－2x.(1)设h(x)＝f(x＋1)－g′(x)(其中g′(x)是g(x)的导函数)，求h(x)的单调区间；(2)设k∈Z，当x＞1时，不等式k(x－1)＜xf(x)＋3g′(x)＋4恒成立，求k的最大值.解(1)h(x)＝f(x＋1)－g′(x)＝ln(x＋1)－x＋2，x＞－1，所以h′(x)＝－1＝.当－1＜x＜0时，h′(x)＞0；当x＞0时，h′(x)＜0.2因此，h(x)在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减.(2)当x>1时，不等式k(x－1)＜xf(x)＋3g′(x)＋4化为k＜＋2，所以k＜＋2对任意x＞1恒成立.令g(x)＝＋2，则g′(x)＝.令h(x)＝x－lnx－2(x＞1)，则h′(x)＝1－＝＞0，所以函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增.因为h(3)＝1－ln3＜0，h(4)＝2－2ln2＞0，所以方程h(x)＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x0，且满足h(x0)＝x0－lnx0－2＝0，x0∈(3，4).当1＜x＜x0时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，当x＞x0时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，所以函数g(x)＝＋2在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增.所以＝g(x0)＝＋2＝＋2＝x0＋2∈(5，6).所以k＜[g(x)]min＝x0＋2∈(5，6).故整数k的最大值是5.3
