星期五(综合限时练)2017年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)1.(本小题满分14分)已知数列{an}与{bn}满足an＋1－an＝2(bn＋1－bn)(n∈N*).(1)若a1＝1，bn＝3n＋5，求数列{an}的通项公式；(2)若a1＝6，bn＝2n(n∈N*)，且λan＞2n＋n＋2λ对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.解(1)因为an＋1－an＝2(bn＋1－bn)，bn＝3n＋5.所以an＋1－an＝2(bn＋1－bn)＝2(3n＋8－3n－5)＝6，所以{an}是等差数列，首项为a1＝1，公差为6，即an＝6n－5.(2)因为bn＝2n，所以an＋1－an＝2(2n＋1－2n)＝2n＋1，当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n＋2n－1＋…＋22＋6＝2n＋1＋2，当n＝1时，a1＝6，符合上式，所以an＝2n＋1＋2，由λan＞2n＋n＋2λ得λ＞＝＋，－＝≤0，所以，当n＝1，2时，取最大值，故λ的取值范围为.2.(本小题满分15分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形.(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－B的余弦值.(1)证明取BC的中点E，连接DE，则四边形ADEB为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OE，OD，由△PAB和△PAD都是等边三角形可知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ADEB对角线的交点，故OE⊥BD，又PO⊥OE，且PO∩OB＝O，从而OE⊥平面PBD，又PB⊂平面PBD，所以OE⊥PB，因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD，因此PB⊥CD.(2)解由(1)可知，OE，OB，OP两两垂直，以O为原点，OE方向为x轴正方向，OB方向为y轴正方向，OP方向为z轴正方向，建立如图所示的直角坐标系O－xyz.设|AB|＝2，则A(－，0，0)，D(0，－，0)，P(0，0，)AD＝(，－，0)，AP＝(，0，)，设平面PAD的法向量n＝(x，y，z)，∴取x＝1，得y＝1，z＝－1，即n＝(1，1，－1)，因为OE⊥平面PBD，设平面PBD的法向量为m，取m＝(1，0，0)，则cos〈m，n〉＝＝，由图象可知二面角A－PD－B的大小为锐角.所以，二面角A－PD－B的余弦值为.3.(本小题满分15分)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X).解(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P＝＝＝.(2)随机变量X所有可能的取值为2，3，4.{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝＝；{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X＝3)＝＝＝；于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－－＝.所以随机变量X的概率分布如下表：X234P因此随机变量X的数学期望E(X)＝2×＋3×＋4×＝.4.(本小题满分15分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点，一个焦点为(，0).(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝k(x－1)(k≠0)与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q.求的取值范围.解(1)由题意得解得a＝2，b＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝.所以线段AB的中点坐标为，所以线段AB的垂直平分线方程为y－＝－.于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q，又点P(1，0)，所以|PQ|＝＝.又|AB|＝＝.于是，＝＝4＝4.因为k≠0，所以1＜3－＜3.所以的取值范围为(4，4).5.(本小题满分15分)已知函数f(x)＝(2ax2＋bx＋1)e－x(e为自然对数的底数).(1)若a＝，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(1)＝1，且方程f(x)＝1在(0，1)内有解，求实数a的取值范围.解(1)当a＝，f(x)＝(x2＋bx＋1)e－x，f′(x)＝－[x2＋(b－2)x＋1－b]e－x，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝1－b.当b＝0，f′(x)≤0；当b＞0时，当1－b＜x＜1时，f′(x)＞0，当x＜1－b或x＞1时，f′(x)＜0；当b＜0时，当1＜x＜1－b时，f′(x)＞0，当x＞1－b或x＜1时，f′(x)＜0.综上所述，b＝0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)；b＞0时，f(x)的单调递增...
