星期二(概率与立体几何)2017年____月____日1.概率(命题意图：考查频率与概率间的关系，以及分布列、期望的求解与应用)(本小题满分15分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0202轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率.(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列.(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由.解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.(2)依题意得，X1的分布列为X1123PX2的分布列为X21.82.9P(3)由(2)得E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元).因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车.2.立体几何(命题意图：考查三棱柱中的垂直关系及线面角的求解)(本小题满分15分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；(2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值.解(1)取AB中点为O，连接OD，OB1.因为B1B＝B1A，所以OB1⊥AB.又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，所以AB⊥平面B1OD，因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD.由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC，所以OD⊥BB1，因为AB∩BB1＝B，所以OD⊥平面ABB1A1.又OD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1.(2)由(1)知，OB，OD，OB1两两垂直，以O为坐标原点，OB的方向为x轴的方向，|OB|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.由题设知B1(0，0，)，D(0，1，0)，A(－1，0，0)，C(1，2，0)，C1(0，2，).则B1D＝(0，1，－)，AC＝(2，2，0)，CC1＝(－1，0，).设平面ACC1A1的法向量为m＝(x，y，z)，则m·AC＝0，m·CC1＝0，即x＋y＝0，－x＋z＝0，可取m＝(，－，1).设直线B1D与平面ACC1A1所成角为θ，故cos〈B1D，m〉＝＝－.则sinθ＝.∴直线B，D与平面ACC1A1所成角的正弦值为.
