星期三(解析几何)2017年____月____日解析几何(命题意图：考查利用向量知识求椭圆方程及直线与椭圆相交情况下的三角形、斜率、点到直线的距离等知识的综合应用)(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B为短轴的一个端点，E是椭圆C上的一点，满足OE＝OF1＋OB，且△EF1F2的周长为2(＋1).(1)求椭圆C的方程；(2)设点M是线段OF2上的一点，过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P、Q两点，若△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，求点M到直线l距离的取值范围.解(1)由已知F1(－c，0)，设B(0，b)，即OF1＝(－c，0)，OB＝(0，b)，∴OE＝，即E，∴＋＝1，得＝，①又△EF1F2的周长为2(＋1)，∴2a＋2c＝2＋2，②又①②得c＝1，a＝，∴b＝1，∴所求椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设点M(m，0)，(0＜m＜1)，直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ中点为N(x0，y0)，则x1＋x2＝，∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝，∴x0＝＝，y0＝＝，即N.法一∵△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，∴MN⊥PQ，即＝－1，∴m＝＝∈.设点M到直线l：kx－y－k＝0距离为d，则d2＝＝＜＝，∴d∈，即点M到直线距离的取值范围是.法二∵△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，∴(MP＋MQ)·PQ＝0，∵MP＝(x1－m，y1)，MQ＝(x2－m，y2)，PQ＝(x2－x1，y2－y1)，∴(x1＋x2－2m)(x2－x1)＋(y1＋y2)(y2－y1)＝0，又y2＋y1＝k(x2＋x1－2)，y2－y1＝k(x2－x1)，∴(x2＋x1－2m)＋k2(x1＋x2－2)＝0，∴＋k2＝0，∴m＝.以下同解法一.
