星期三(解析几何)2017年____月____日解析几何(命题意图：考查椭圆方程的求解及直线与椭圆相交情况下的范围问题)(本小题满分15分)如图，已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，以BF2为直径的圆D经过椭圆的上顶点A，且|BF1|＝|AF1|，F1A·BA＝6.(1)求椭圆C的方程及圆D的方程；(2)斜率为k的直线l过右焦点F2，且与椭圆C交于M、N两点，若在x轴上存在点P(m，0)，使得以PM、PN为邻边的平行四边形为菱形，求实数m的取值范围.解(1)因为以BF2为直径的圆经过椭圆的上顶点A，且|BF1|＝|AF1|，所以∠BAF2＝，∠BAF1＝∠ABF1，所以∠F1AF2＋∠BAF1＝∠AF2B＋∠ABF1，所以∠F1AF2＝∠AF2F1，所以△F1AF2是等边三角形.所以|AF1|＝|F1F2|＝|BF1|＝2c，又|AF1|2＝|OF1|2＋|OA|2，即4c2＝c2＋b2＝a2，则B(－3c，0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，A(0，b)，所以F1A·BA＝(c，b)·(3c，b)＝3c2＋b2＝6，所以a2＝4，b2＝3，c2＝1，所以椭圆C的方程为＋＝1.由F1(－1，0)，|AF1|＝2，得圆D的方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知F2(1，0)，则l：y＝k(x－1)，联立消去y整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则Δ＝(－8k2)2－4(3＋4k2)(4k2－12)＝16×9(k2＋1)＞0，x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，所以PM＋PN＝(x1－m，y1)＋(x2－m，y2)＝(x1＋x2－2m，y1＋y2).由于菱形的对角线互相垂直，则(PM＋PN)·MN＝0，因为MN的一个方向向量是(1，k)，故x1＋x2－2m＋k(y1＋y2)＝0，所以x1＋x2－2m＋k2(x1＋x2－2)＝0，所以k2＋－2m＝0，由已知条件知k≠0，1所以m＝＝，所以0＜m＜，故实数m的取值范围是.2
