专题六概率与随机变量及其分布第1讲概率的基本问题练习一、选择题1.在(x－)2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于()A.23008B.－23008C.23009D.－23009解析Tr＋1＝Cx2006－r(－)r，显然当2006－r为奇数时，r为奇数.∴当x＝时，Tr＋1＝－C()2006＝－C·21003.∴S＝－21003(C＋C＋…＋C)＝－21003××22006＝－23008.故选B.答案B2.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A.60种B.63种C.65种D.66种解析对于4个数之和为偶数，可分三类，即4个数均为偶数，2个数为偶数2个数为奇数，4个数均为奇数，因此共有C＋CC＋C＝66种.答案D3.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.B.C.D.解析由题意知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都选周日也有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P＝＝＝.答案D4.将编号为1，2，3，4，5的五个数放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为()A.40种B.30种C.20种D.10种解析恰好有三个球的编号与盒子编号不相同，不同的投放方法的种数为2，则恰好有两个球的编号与盒子编号相同而其余三个球的编号与盒子的编号不相同的不同的投放方法的种数为2C＝20，故选C.答案C5.若对于任意的实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为()A.3B.6C.9D.12解析设x－2＝t，则x＝t＋2，原式化为(2＋t)3＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3，∴a2＝C·2＝6，故选B.答案B二、填空题6.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).解析分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为CCA＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种).答案607.有6个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的概率是________.解析有6个座位连成一排，三人就座，共有A种坐法，有三个空位，在三个人的4个空隙中选两个安排1个空位和两个相邻空位，则恰有两个空位相邻的坐法有AA，则所求概率是.答案8.已知(1＋x＋x2)的展开式中没有常数项，n∈N*且2≤n≤8，则n＝________.解析的一般项为Tr＋1＝Cxn－4r，要使原式没有常数项，n－4r≠0，－1，－2，又2≤n≤8，在2～8的自然数中，只有n＝5符合题意.故n＝5.答案5三、解答题9.已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和.(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X).解(1)由题意得X取3，4，5，6，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.所以X的分布列为X3456P(2)由(1)知E(X)＝3·P(X＝3)＋4·P(X＝4)＋5·P(X＝5)＋6·P(X＝6)＝.10.某校50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：答对题目个数0123人数5102015根据上表信息解答以下问题：(1)从这50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；(2)从这50名学生中任选两人，用X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望E(X).解(1)记“两人答对题目个数之和为4或5”为事件A，则P(A)＝＝＝，即两人答对题目个数之和为4或5的概率为.(2)依题意可知X的可能取值分别为0，1，2，3.则P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝.从而X的分布列为X0123PX的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.11.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学...
