专题五解析几何第1讲圆与圆锥曲线的基本问题练习一、选择题1.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A.5－4B.5－4C.5－3D.5－3解析由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝5.所以(|PM|＋|PN|)min＝5－4.答案B2.(2015·全国Ⅰ卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是()A.B.C.D.解析由题意知M在双曲线C：－y2＝1上，又在x2＋y2＝3内部，由得y＝±，所以－b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析因为直线AB过点F(3，0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，选D.答案D4.(2016·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.B.C.D.1解析如图，由题可知F，设P点坐标为，显然，当y0<0时，kOM<0；y0>0时，kOM>0，要求kOM最大值，不妨设y0>0.则OM＝OF＋FM＝OF＋FP＝OF＋(OP－OF)＝OP＋OF＝，kOM＝＝≤＝，当且仅当y＝2p2等号成立.故选C.答案C5.如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a，b>0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是()A.B.C.D.解析不妨设c＝1，则直线PQ：y＝bx＋b，两渐近线为y＝±x，因此有交点P，Q，设PQ的中点为N，则点N的坐标为，因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，|MF2|＝|F1F2|，所以点M的坐标为(3，0)，因此有kMN＝＝－，所以3－4a2＝b2＝1－a2，所以a2＝，所以e＝.答案B二、填空题6.(2015·浙江卷)已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________.解析因为实数x，y满足x2＋y2≤1，则2x＋y－4＜0，6－x－3y＞0，所以|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝－3x－4y＋10.令z＝－3x－4y＋10，则3x＋4y－10＋z＝0.当直线3x＋4y－10＋z＝0与圆x2＋y2＝1相切时，z取最值，故＝1，∴z＝5或z＝15，∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值为15.答案157.(2016·浙江卷)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________.解析如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足解得－1＋＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，∴2＜2m＋2＜8.答案(2，8)8.(2016·深圳第二次调研)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点(0，2)，则p等于________.解析由题意知直线AB的方程为y＝x－，垂直线平分线方程为y＝－x＋2，联立上面两直线方程得y＝1－，x＝1＋，即AB的中点坐标为，设A，B，则＝，∴1－＝p，∴p＝.答案三、解答题9.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.(1)求k的取值范围；(2)若OM·ON＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与C交于两点，所以<1.解得
