专题三数列第1讲等差数列、等比数列的基本问题练习一、选择题1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，则m等于()A.3B.4C.5D.6解析由已知得Sm－Sm－1＝am＝－16，Sm＋1－Sm＝am＋1＝32，故公比q＝－2，又Sm＝＝－11，故a1＝－1，又am＝a1qm－1＝－16，代入可求得m＝5.答案C2.(2014·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于()A.n(n＋1)B.n(n－1)C.D.解析由a2，a4，a8成等比数列，得a＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.∴Sn＝2n＋×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1).答案A3.(2015·浙江卷)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()A.a1d＞0，dS4＞0B.a1d＜0，dS4＜0C.a1d＞0，dS4＜0D.a1d＜0，dS4＞0解析 a3，a4，a8成等比数列，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)·(a1＋7d)，整理得a1＝－d，∴a1d＝－d2＜0，又S4＝4a1＋d＝－，∴dS4＝－＜0，故选B.答案B4.(2016·福州二模)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于()A.6B.7C.8D.9解析由题意知：a＋b＝p，ab＝q， p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有：a，－2，b；b，－2，a.∴或解之得：或∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D.答案D5.(2016·浙江卷)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合).若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则()A.{Sn}是等差数列B.{S}是等差数列C.{dn}是等差数列D.{d}是等差数列解析由题意，过点A1，A2，A3，…，An，An＋1，…分别作直线B1Bn＋1的垂线，高分别记为h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…，根据平行线的性质，得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…成等差数列，又Sn＝×|BnBn＋1|×hn，|BnBn＋1|为定值，所以{Sn}是等差数列，故选A.答案A二、填空题6.(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为__________.解析设等比数列{an}的公比为q，∴⇒解得∴a1a2…an＝＝＝，当n＝3或4时，取到最小值－6，此时取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64.答案647.数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝，且对任意正整数m，n，都有am＋n＝am·an，若Sn＜t恒成立，则实数t的最小值为________.解析令m＝1，可得an＋1＝an，所以{an}是首项为，公比为的等比数列，所以Sn＝＝＜，故实数t的最小值为.答案8.(2013·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________.解析设数列{an}的首项和公差分别为a1，d，则则nSn＝n＝－n2.设函数f(x)＝－x2，则f′(x)＝x2－x，当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0，所以函数f(x)min＝f，但6＜＜7，且f(6)＝－48，f(7)＝－49，因为－48＞－49，所以最小值为－49.答案－49三、解答题9.(2014·新课标全国Ⅱ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1，(1)证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋<.证明(1)由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3.又a1＋＝，所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列.an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.所以＋＋…＋<.10.数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点(an＋1，Sn)在直线2x＋y－2＝0上.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.解(1)由题意，可得2an＋1＋Sn－2＝0.①当n≥2时，2an＋Sn－1－2＝0.②①－②，得2an＋1－2an＋an＝0，所以＝(n≥2).因为a1＝1，2a2＋a1＝2，所以a2＝.所以{an}是首项为1，公比为的等比数列.所以数列{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知，Sn＝＝2－.若为等差数列，则S1＋λ＋，S2＋2λ＋，S3＋3λ＋成等差数列，则2＝S1＋＋S3＋，即2＝1...
