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创新设计(浙江专用)高考数学二轮复习 专题三 数列 第1讲 等差数列、等比数列的基本问题练习-人教版高三全册数学试题VIP免费

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专题三数列第1讲等差数列、等比数列的基本问题练习一、选择题1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,则m等于()A.3B.4C.5D.6解析由已知得Sm-Sm-1=am=-16,Sm+1-Sm=am+1=32,故公比q=-2,又Sm==-11,故a1=-1,又am=a1qm-1=-16,代入可求得m=5.答案C2.(2014·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn等于()A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.解析由a2,a4,a8成等比数列,得a=a2a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),∴a1=2.∴Sn=2n+×2=2n+n2-n=n(n+1).答案A3.(2015·浙江卷)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>0解析 a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)·(a1+7d),整理得a1=-d,∴a1d=-d2<0,又S4=4a1+d=-,∴dS4=-<0,故选B.答案B4.(2016·福州二模)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9解析由题意知:a+b=p,ab=q, p>0,q>0,∴a>0,b>0.在a,b,-2这三个数的6种排序中,成等差数列的情况有a,b,-2;b,a,-2;-2,a,b;-2,b,a;成等比数列的情况有:a,-2,b;b,-2,a.∴或解之得:或∴p=5,q=4,∴p+q=9,故选D.答案D5.(2016·浙江卷)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合).若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则()A.{Sn}是等差数列B.{S}是等差数列C.{dn}是等差数列D.{d}是等差数列解析由题意,过点A1,A2,A3,…,An,An+1,…分别作直线B1Bn+1的垂线,高分别记为h1,h2,h3,…,hn,hn+1,…,根据平行线的性质,得h1,h2,h3,…,hn,hn+1,…成等差数列,又Sn=×|BnBn+1|×hn,|BnBn+1|为定值,所以{Sn}是等差数列,故选A.答案A二、填空题6.(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为__________.解析设等比数列{an}的公比为q,∴⇒解得∴a1a2…an===,当n=3或4时,取到最小值-6,此时取到最大值26,所以a1a2…an的最大值为64.答案647.数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=,且对任意正整数m,n,都有am+n=am·an,若Sn<t恒成立,则实数t的最小值为________.解析令m=1,可得an+1=an,所以{an}是首项为,公比为的等比数列,所以Sn==<,故实数t的最小值为.答案8.(2013·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为________.解析设数列{an}的首项和公差分别为a1,d,则则nSn=n=-n2.设函数f(x)=-x2,则f′(x)=x2-x,当x∈时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0,所以函数f(x)min=f,但6<<7,且f(6)=-48,f(7)=-49,因为-48>-49,所以最小值为-49.答案-49三、解答题9.(2014·新课标全国Ⅱ卷)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1,(1)证明{an+}是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)证明++…+<.证明(1)由an+1=3an+1,得an+1+=3.又a1+=,所以{an+}是首项为,公比为3的等比数列.an+=,因此{an}的通项公式为an=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=<.所以++…+<.10.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且对任意正整数n,点(an+1,Sn)在直线2x+y-2=0上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)是否存在实数λ,使得数列为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.解(1)由题意,可得2an+1+Sn-2=0.①当n≥2时,2an+Sn-1-2=0.②①-②,得2an+1-2an+an=0,所以=(n≥2).因为a1=1,2a2+a1=2,所以a2=.所以{an}是首项为1,公比为的等比数列.所以数列{an}的通项公式为an=.(2)由(1)知,Sn==2-.若为等差数列,则S1+λ+,S2+2λ+,S3+3λ+成等差数列,则2=S1++S3+,即2=1...

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