专题七数学思想方法第1讲函数与方程思想、数形结合思想练习一、选择题1.直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于()A.或－B.－或3C.－3或D.－3或3解析圆的方程(x－1)2＋y2＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径⇒＝⇒|＋m|＝2⇒m＝或m＝－3.答案C2.已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lgx解的个数是()A.5B.7C.9D.10解析由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数.又f(x)＝lgx，则x∈(0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.答案C3.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为()A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，＋∞)解析f′(x)＞2转化为f′(x)－2＞0，构造函数F(x)＝f(x)－2x，得F(x)在R上是增函数.又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)＞2x＋4，即F(x)＞4＝F(－1)，所以x＞－1.答案B4.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A.B.2C.D.2解析如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则CA＝a－c，CB＝b－c.由题意知CA⊥CB，∴O，A，C，B四点共圆.∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|OC|＝.答案A5.当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是()A.B.C.(1，)D.(，2)解析利用指数函数和对数函数的性质及图象求解. 0＜x≤，∴1＜4x≤2，∴logax＞4x＞1，∴0＜a＜1，排除答案C，D；取a＝，x＝，则有4＝2，log＝1，显然4x＜logax不成立，排除答案A；故选B.答案B二、填空题6.(2015·全国Ⅱ卷改编)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为________.解析如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1，0)， △ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin60°＝a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝＝.答案7.已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量b满足|b|＝2，b·e1＝1，b·e2＝1，则对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|的最小值为________.解析|b－(xe1＋ye2)|2＝b2＋x2e＋y2e－2xb·e1－2yb·e2＋2xye1·e2＝4＋x2＋y2－2x－2y＝(x－1)2＋(y－1)2＋2≥2，当且仅当x＝1，y＝1时，|b－(xe1＋ye2)|2取得最小值2，此时|b－(xe1＋ye2)|取得最小值.答案8.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________.解析设直线l的方程为x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线l的方程代入抛物线方程y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0，则Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m，则线段AB的中点M(2t2＋m，2t).由题意可得直线AB与直线MC垂直，且C(5，0).当t≠0时，有kMC·kAB＝－1，即·＝－1，整理得m＝3－2t2，把m＝3－2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3.由于圆心C到直线AB的距离等于半径，即d＝＝＝2＝r，所以2＜r＜4，此时满足题意且不垂直于x轴的直线有两条.当t＝0时，这样的直线l恰有2条，即x＝5±r，所以0＜r＜5.综上，可得若这样的直线恰有4条，则2＜r＜4.答案(2，4)三、解答题9.已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值.解(1)设{an}的公差为d，由已知条件，解得a1＝3，d＝－2.所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.(2)Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.所以n＝2时，Sn取到最大值4.10.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP＝3PB.(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围.解(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，设c＞0，c2＝a2－b2，由题意，知2b＝，＝，所以a＝1，b＝c＝.故椭圆C的方程为y2＋＝1.即y2＋2x2＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，由题意求...
