专题四立体几何第2讲立体几何中的向量方法练习理1.(2016·山东卷)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线.(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；(2)已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，求二面角F－BC－A的余弦值.(1)证明设FC中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥OB，所以GI∥OB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.(2)解连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.由题意得B(0，2，0)，C(－2，0，0).过点F作FM垂直OB于点M，所以FM＝＝3，可得F(0，，3).故BC＝(－2，－2，0)，BF＝(0，－，3).设m＝(x，y，z)是平面BCF的一个法向量.由可得可得平面BCF的一个法向量m＝，因为平面ABC的一个法向量n＝(0，0，1)，所以cos〈m，n〉＝＝.所以二面角F－BC－A的余弦值为.2.(2015·山东卷)如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE,∠BAC＝45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.(1)证明法一连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形.则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OH∥BD，又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.法二在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)解设AB＝2，则CF＝1.在三棱台DEF－ABC中，G为AC的中点，由DF＝AC＝GC，可得四边形DGCF为平行四边形，因此DG∥FC，又FC⊥平面ABC，所以DG⊥平面ABC.在△ABC中，由AB⊥BC，∠BAC＝45°，G是AC中点.所以AB＝BC，GB⊥GC，因此GB，GC，GD两两垂直.以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G－xyz.所以G(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，D(0，0，1).可得H，F(0，，1)，故GH＝，GF＝(0，，1).设n＝(x，y，z)是平面FGH的一个法向量，则由可得可得平面FGH的一个法向量n＝(1，－1，).因为GB是平面ACFD的一个法向量，GB＝(，0，0).所以cos〈GB，n〉＝＝＝.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.3.(2016·四川卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.解(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE.所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)法一由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P－CD－A的平面角.所以∠PDA＝45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.作Ay⊥AD，以A为原点，以AD，AP的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0).所以PE＝(1，0，－2)，EC＝(1，1，0)，AP＝(0，0，2).设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z).由得设x＝2，解得n＝(2，－2，1).设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα＝＝＝.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.法二由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角.所以∠PDA＝45°.设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.且PA∩AH＝A，于是CE⊥平面PAH.又CE⊂平面PCE，所以平面PC...
