专题四立体几何第1讲立体几何中的计算与位置关系练习理一、选择题1.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n解析由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确.故选C.答案C2.(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.＋πB.＋πC.＋πD.1＋π解析由三视图知，半球的半径R＝，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V＝×1×1×1＋×π×＝＋π，故选C.答案C3.(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A.4πB.C.6πD.解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.答案B4.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π解析如图，要使三棱锥O－ABC即C－OAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥C－OAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则VO－ABC最大为×S△OAB×R＝××R2×R＝R3＝36，所以R＝6，得S球O＝4πR2＝4π×62＝144π，选C.答案C5.(2014·全国Ⅰ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A.6B.4C.6D.4解析如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A－BCD，最长的棱为AD＝＝6，选C.答案C二、填空题6.(2016·四川卷)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.解析由题可知，∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得如右俯视图，且三棱锥高为h＝1，则体积V＝Sh＝××1＝.答案7.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.解析由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以该几何体的体积V＝2×π×12×1＋π×12×2＝π(m3).答案8.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是________.解析由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S表＝2××2×1＋2××()2＝2＋.答案2＋三、解答题9.在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足AE∶EB＝CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2(如图1)，将△AEF折起到△A1EF的位置，连接A1B，A1C(如图2).(1)求证：FP∥平面A1EB；(2)求证：EF⊥A1B.证明(1)∵CP∶PB＝CF∶FA，∴FP∥BE，又BE⊂平面A1EB，FP⊄平面A1EB，∴FP∥平面A1EB.(2)不妨设正三角形ABC的边长为3，则AE＝1，AF＝2.又∵∠EAF＝60°，∴EF2＝AE2＋AF2－2AE·AFcos∠EAF＝12＋22－2×1×2cos60°＝3，∴EF＝.在△AEF中，有AF2＝AE2＋EF2，∴EF⊥AE，即EF⊥AB.则在题图2中，有EF⊥A1E，EF⊥BE，又A1E，BE⊂平面A1BE，A1E∩BE＝E，∴EF⊥平面A1EB，又∵A1B⊂平面A1EB，∴EF⊥A1B.10.(2017·江南十校联考)如图1，等腰梯形ABCD中，BC∥AD，CE⊥AD，AD＝3BC＝3，CE＝1.求△CDE沿CE折起得到四棱锥F－ABCE(如图2)，G是AF的中点.(1)求证：BG∥平面ECE；(2)当平面FCE⊥平面ABCE时，求三棱锥F－BEG的体积.(1)证明如图，取EF的中点M，连接GM、MC，则GM綉AE.∵等腰梯形ABCD中，BC＝1，AD＝3，∴BC綉AE.∴GM綉BC，∴四边形BCMG是平行四边形，∴BG∥CM.又CM⊂平面FCE，BG⊄平面FCE，∴BG∥平面FCE.(2)解∵平面FCE⊥平面ABCE，平面FCE∩平面ABCE＝CE，EF⊂平面FCE，FE⊥CE，∴FE⊥平面ABCE.又VF－BEG＝VB－GEF＝VB－AEF＝VF－ABE，S△ABE＝×2×1＝1，∴VF－BEG＝××1×1＝.11.如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BE；(2)设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.(1)证明∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.∵BC∩BF＝B，BC，BF⊂平面BCE，∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.(2)解在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连接MN，则由比例关系易得CN＝CE.∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE.同理，GN∥平面ADE.又∵GN∩MG＝G，GN，MG⊂平面MGN，∴平面MGN∥平面ADE.又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE.∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.
